序論：好文章的創(chuàng)作是一個(gè)不斷探索和完善的過(guò)程，我們?yōu)槟扑]十篇數(shù)學(xué)原始概念范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質(zhì)，帶來(lái)更深刻的閱讀感受。

篇（1）

這類似的表達(dá)，書中無(wú)處不在。夏勇先生是非常明確的措辭似乎明白了什么是人權(quán)的西方的概念，并且在其他的事情，我知道西方古典中國(guó)的人權(quán)狀況，準(zhǔn)確，完全不同。兩個(gè)完全不同的東西都不需要，需要進(jìn)行比較，既似是而非的東西。稍微熟悉歷史的西方人權(quán)的讀者會(huì)很清楚的西方人權(quán)，所謂的自然權(quán)利，直接關(guān)系到人的品德。

但夏勇先生在東方和西方之間的差異，準(zhǔn)確地表示說(shuō)：“我認(rèn)為中國(guó)文化在其自己獨(dú)特的方式來(lái)弘揚(yáng)人的主體精神。成就功德，神圣的境界涅磐，由于個(gè)人的道德努力，本身反映了作為一個(gè)人的尊嚴(yán)和價(jià)值的人。（《人權(quán)概念的起源》P185）夏勇先生也知道，此人是根據(jù)抽象的道義上的個(gè)人，或者是抽象的倫理道德的個(gè)人主義日下跌，倒掛對(duì)人權(quán)和個(gè)人的權(quán)利，在西方是兩個(gè)不同的東西。

在這方面，夏勇先生缺陷不能說(shuō)，相反，夏勇先生故意。故意的目的，就是探索西方人權(quán)概念的名稱，解決真正的問(wèn)題。不幸的是，西方的概念雖然在中國(guó)的土地上廣為傳播人權(quán)的西方差異，但地球不能扎根。夏勇先生也很無(wú)奈，他是多么希望能夠“一橋飛架南北，但事實(shí)擺在面前。所以，10年后，夏勇先生還尋找權(quán)力的概念，在過(guò)去一百年的空前繁榮，特別是在革命期間，1911年“憲法”，“共和”后，為什么中國(guó)人民在面對(duì)權(quán)力，那么的無(wú)助，軟弱和無(wú)助嗎？他們?cè)趺茨茉趯?shí)際的社會(huì)生活中真正享受公法意義上的權(quán)利嗎？他們是如何看待權(quán)利？社會(huì)變化所帶來(lái)的1978年改革開放以來(lái)公民權(quán)利這是什么意思？為什么過(guò)去黨和政府的利益保護(hù)好，但現(xiàn)在他們已經(jīng)侵犯。在過(guò)去一百年來(lái)，在中國(guó)的權(quán)利已成為一個(gè)流行的名詞。

和諧這個(gè)詞，成為核心詞匯的時(shí)刻之一。夏勇先生一旦這個(gè)詞表達(dá)了他的愿望，來(lái)仔細(xì)比較夏勇先生的和諧與和諧的相似性和差異目前的主流。我讀夏勇先生是最早表示的和諧理論，同時(shí)也基于對(duì)人權(quán)的和諧。

夏勇先生的博士論文《人權(quán)概念起源》提出了和諧的理念。夏勇先生探討人權(quán)的概念，尾部的“人權(quán)和人的和諧”。長(zhǎng)尾理論的起源，似乎是順便說(shuō)一下，順帶討論，但事實(shí)上，這是夏勇先生目的地先生夏勇討論花費(fèi)大量的空間，人權(quán)的概念要弄清楚來(lái)龍去脈，只是一種手段，真正的意圖是要弄清楚人權(quán)概念的目的。，夏勇先生直言不諱介紹：“我們應(yīng)該通過(guò)對(duì)人權(quán)的歷史事實(shí)為基礎(chǔ)的研究，總結(jié)了歷史上的人權(quán)和發(fā)展的規(guī)律，這將傳遞和發(fā)揚(yáng)了中華民族的文化傳統(tǒng)，尤其是在追求和諧精神，根據(jù)社會(huì)的進(jìn)步，中國(guó)的人權(quán)理論和人權(quán)制度的建立和發(fā)展的需要。這是本書的意圖所在。

篇（2）

高職教育16號(hào)文件中明確指出，課程建設(shè)與改革是提高教學(xué)質(zhì)量的核心，也是教學(xué)改革的重點(diǎn)和難點(diǎn)。對(duì)此，嘉興職業(yè)技術(shù)學(xué)院堅(jiān)持從市場(chǎng)需求出發(fā)，立足高職生成長(zhǎng)特點(diǎn)，不斷探索改革教育教學(xué)模式，進(jìn)一步明確了高技能人才培養(yǎng)方向。

在旅游管理專業(yè)人才培養(yǎng)方案制訂過(guò)程中，學(xué)院首先組織專業(yè)教師深入當(dāng)?shù)芈糜萎a(chǎn)業(yè)進(jìn)行調(diào)研，明確了該專業(yè)的教學(xué)定位是培養(yǎng)旅游企業(yè)、事業(yè)單位一線基層管理人員，而企業(yè)管理者必須具備人員分工、組建團(tuán)隊(duì)、項(xiàng)目實(shí)施、員工激勵(lì)、績(jī)效考核等基本意識(shí)和素質(zhì)。

與此同時(shí)，學(xué)院教改人員對(duì)傳統(tǒng)的教育模式進(jìn)行了自我診斷，發(fā)現(xiàn)了許多弊端。例如，“我說(shuō)你聽，我考你答，我罰你受”這種原有的教學(xué)管理模式和方法，容易在教師與學(xué)生之間形成鴻溝。在該模式下，學(xué)生被簡(jiǎn)單地當(dāng)成一個(gè)“真空的容器”，教師則一味地用知識(shí)去填充。由于學(xué)生是被動(dòng)地接受信息，注意力是有限的，特別是當(dāng)教師的聲音單調(diào)乏味時(shí)，更容易感到厭倦，這種“一次準(zhǔn)備、多次重復(fù)”的灌輸式教學(xué)模式，不能根據(jù)學(xué)生情況有針對(duì)性地進(jìn)行教學(xué)。而對(duì)學(xué)生的知識(shí)考核，由于缺乏過(guò)程跟蹤考核與評(píng)價(jià)，缺乏實(shí)踐演練，更是讓學(xué)生養(yǎng)成了“臨時(shí)抱佛腳”的陋習(xí)，從而造成“學(xué)一門、丟一門”的結(jié)局。

為此，學(xué)院在制訂人才培養(yǎng)方案中，嘗試引入企業(yè)管理思維，進(jìn)一步明確了人才培養(yǎng)定位，著力提高人才培養(yǎng)質(zhì)量。學(xué)院在進(jìn)一步調(diào)研后發(fā)現(xiàn)，課程建設(shè)與改革是提高人才培養(yǎng)質(zhì)量的核心與關(guān)鍵環(huán)節(jié)，專業(yè)核心課程則是課程教學(xué)改革的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

為攻克教改中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，學(xué)院旅游管理省級(jí)特色專業(yè)攜手烏鎮(zhèn)旅游股份有限公司成立“廠中校”――嘉興職業(yè)技術(shù)學(xué)院烏鎮(zhèn)旅游股份有限公司校區(qū)，開展人才聯(lián)合培養(yǎng)，共同以訂單培養(yǎng)的方式拓展辦學(xué)空間，校企共同確定將“公關(guān)與禮儀”這門課程確定為烏鎮(zhèn)訂單班的特色課程，實(shí)施旅游人才的標(biāo)志化培養(yǎng)戰(zhàn)略，并以此為抓手，共同打造烏鎮(zhèn)特色精品旅游人才，為學(xué)院進(jìn)一步明確人才培養(yǎng)定位積累了寶貴的經(jīng)驗(yàn)。

多籌并舉促教改

在教學(xué)改革中，學(xué)院領(lǐng)導(dǎo)意識(shí)到，只有真正激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的主動(dòng)性與熱情，才能助力教學(xué)改革深入推進(jìn)。為此，學(xué)院積極啟發(fā)教師實(shí)施教學(xué)改革的創(chuàng)新思維，幫助他們明確教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)。并把整個(gè)教學(xué)目標(biāo)分為知識(shí)目標(biāo)、能力目標(biāo)和素質(zhì)目標(biāo)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)之前了解熟悉每門課程的知識(shí)點(diǎn)，使他們能夠?qū)ο乱徊降膶W(xué)習(xí)內(nèi)容和脈絡(luò)有個(gè)初步的了解。

組建學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì)，實(shí)施項(xiàng)目管理。事先告知學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)容，接下來(lái)就是告知如何組織教學(xué)，并告知組建學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì)時(shí)需要考慮成員的性別組成、特長(zhǎng)組成、興趣愛好、人員分工以及性格傾向，團(tuán)隊(duì)的組成結(jié)構(gòu)及合理搭配、有序的組合都會(huì)影響到整個(gè)團(tuán)隊(duì)的成績(jī)。由學(xué)生按照興趣組合的方式自由組成以7～8名成員為一組的學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì)小組，按照學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì)分組就座，由組長(zhǎng)擔(dān)任項(xiàng)目負(fù)責(zé)人，充分挖掘每個(gè)成員的特長(zhǎng)，取長(zhǎng)補(bǔ)短、優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)。

明確成績(jī)考核評(píng)價(jià)方法，引導(dǎo)學(xué)生自主設(shè)計(jì)考核量表。能否制定合理的考核量表和評(píng)價(jià)方式是決定能否有效地調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂教學(xué)的積極性，能否控制好教學(xué)質(zhì)量很重要的一環(huán)。針對(duì)以往的教學(xué)中通常是教師制定考核標(biāo)準(zhǔn)來(lái)考核學(xué)生的做法，學(xué)院在制定新型成績(jī)?cè)u(píng)定標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，要求教師首先啟發(fā)學(xué)生去回答5個(gè)W，即誰(shuí)來(lái)考核，考核誰(shuí)，考核的內(nèi)容，怎么考核，怎么達(dá)到獎(jiǎng)優(yōu)罰劣的目的，啟發(fā)學(xué)生啟動(dòng)管理思維。由學(xué)生根據(jù)項(xiàng)目的不同，制定出考核個(gè)人業(yè)績(jī)的量表、考核團(tuán)隊(duì)的量表、考核實(shí)際成效的不同量表。自行制定考核量表，這樣就對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況實(shí)施了全面的過(guò)程動(dòng)態(tài)自主管理。

按照能力漸次提高的思路，組織開展實(shí)施。在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)院要求，要以學(xué)生個(gè)人能力訓(xùn)練為主，培養(yǎng)他們收集信息的能力、PPT制作能力和講解能力。同時(shí)，以團(tuán)隊(duì)能力訓(xùn)練為主，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)協(xié)調(diào)、溝通能力，合作和分工意識(shí)。比如，在講授“公關(guān)與禮儀”課程時(shí)，教師以學(xué)院承擔(dān)的西塘景區(qū)委托項(xiàng)目――《西塘景區(qū)游客滿意度調(diào)查》為案例，指導(dǎo)學(xué)生分組制作調(diào)查問(wèn)卷、開展調(diào)研、匯總和整理數(shù)據(jù)、進(jìn)行形象差距分析并撰寫調(diào)查分析報(bào)告，將動(dòng)手動(dòng)腦的能力培養(yǎng)貫徹在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的熱情與興趣。

教改成果育新知

經(jīng)過(guò)一輪教育教學(xué)改革與探索，嘉興職業(yè)技術(shù)學(xué)院教育教學(xué)質(zhì)量穩(wěn)步提升，同時(shí)也讓教師對(duì)高職教學(xué)有了新的認(rèn)識(shí)――在這樣一個(gè)信息爆炸的時(shí)代，網(wǎng)絡(luò)信息無(wú)處不在，教師適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，恰當(dāng)?shù)姆椒ň涂梢宰寣W(xué)生在知識(shí)的海洋中自由地?cái)X取珍寶，學(xué)生展示的作品往往超出了教師的意料和想象。

很快，嘗到了教改甜頭的教師不由自主地發(fā)出了這樣的感嘆：原來(lái)我們的學(xué)生是如此的優(yōu)秀！企業(yè)管理思維下的項(xiàng)目化教學(xué)促使學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)自我，去發(fā)掘自身的學(xué)習(xí)潛力。學(xué)生發(fā)現(xiàn)自我、完善自我的過(guò)程，也是對(duì)自我再認(rèn)識(shí)的過(guò)程。

教師和學(xué)生之間絕對(duì)不是簡(jiǎn)單的居高臨下的教與學(xué)的關(guān)系，師生之間完全可以互教互學(xué)。真正的教學(xué)相長(zhǎng)不僅會(huì)打開彼此心靈的窗戶，還對(duì)教師業(yè)務(wù)知識(shí)的提升、師德師風(fēng)的建設(shè)起到很大的促進(jìn)作用。

平等和尊重是開展課堂教學(xué)改革的核心。教師必須放低身段，放下架子，擺正自己的位置，以平等的身份發(fā)自內(nèi)心地尊重學(xué)生，尊重他們的自主創(chuàng)造，這樣才能激發(fā)學(xué)生發(fā)自內(nèi)心的愉悅和創(chuàng)造力，并自覺地接受教師的引導(dǎo)，學(xué)生開心了，才能全身心地投入到項(xiàng)目的學(xué)習(xí)和實(shí)踐中去，并嘗到學(xué)習(xí)的無(wú)窮樂(lè)趣。

篇（3）

一、選擇題

1下列說(shuō)法中,正確的是

(

)

A.弦是直徑

B.半圓是弧

C.過(guò)圓心的線段是直徑

D.圓心相同半徑相同的兩個(gè)圓是同心圓

2如圖MN為☉O的弦,∠M=30°,則∠MON等于

(

)

A.30°

B.60°

C.90°

D.120°

3.下列說(shuō)法中,錯(cuò)誤的是

(

)

A.直徑相等的兩個(gè)圓是等圓

B.長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧

C.圓中最長(zhǎng)的弦是直徑

D.一條弦把圓分成兩條弧,這兩條弧可能是等弧

4.在☉O中,直徑AB=a,弦CD=b,則a與b的大小關(guān)系為

(

)

A.a>b

B.a≥b

C.a

D.a≤b

5

如圖1,在☉O中,AC∥OB,∠BAO=25°,則∠BOC的度數(shù)為

(

)

圖1

A.25°

B.50°

C.60°

D.80°

二、填空題

6.如果圓的半徑為3,那么弦長(zhǎng)x的取值范圍是

.

7如圖2,點(diǎn)M,G,D在半圓O上,四邊形OEDF,HMNO均為矩形,EF=b,NH=c,則b與c之間的大小關(guān)系是b

c(填“”).

圖2

8如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,0),☉M的半徑為2,過(guò)點(diǎn)M的直線與☉M的交點(diǎn)分別為A,B,則AOB的面積的最大值為

.

圖3

三、解答題

9.如圖,已知AB為☉O的弦,點(diǎn)C,D在AB上,且AC=BD.求證:∠AOC=∠BOD.

10.如圖4,CD是☉O的直徑,A為DC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),點(diǎn)E在☉O上,∠EOD=81°,AE交☉O于點(diǎn)B,且AB=OC,求∠A的度數(shù).

圖4

11.如圖5,A,B,C是☉O上的三點(diǎn),BO平分∠ABC.求證:BA=BC.

圖5

12.如圖6,兩個(gè)正方形彼此相鄰,且大正方形ABCD的頂點(diǎn)A,D在半圓O上,頂點(diǎn)B,C在半圓O的直徑上,小正方形BEFG的頂點(diǎn)F在半圓O上,頂點(diǎn)E在半圓O的直徑上,頂點(diǎn)G在大正方形的邊AB上,若小正方形的邊長(zhǎng)為4,求該圓的半徑.

圖6

答案

1-5

BDBBB

6.[答案]

[解析]

圓的半徑為3,則圓中最長(zhǎng)的弦即直徑的長(zhǎng)度是6,因而弦長(zhǎng)x的取值范圍是0

7.[答案]

=

[解析]

如圖,連接OM,OD.

四邊形OEDF是矩形,

b=EF=OD,同理c=OM.

OM=OD,b=c.

8.[答案]

6

[解析]

AB為圓的直徑,AB=4,

當(dāng)點(diǎn)O到AB的距離最大時(shí),AOB的面積最大,即當(dāng)OMAB時(shí),AOB的面積最大,最大值為12×3×4=6.故答案為6.

9.證明:OA=OB,∠A=∠B.

在OAC和OBD中,OA=OB,∠A=∠B,AC=BD,

OAC≌OBD(SAS),∠AOC=∠BOD.

10.解:連接OB,如圖.

AB=OC,OB=OC,

AB=OB,∠A=∠2.

∠1=∠A+∠2,

∠1=2∠A.

OB=OE,∠1=∠E,∠E=2∠A.

∠EOD=∠A+∠E=81°,

3∠A=81°,∠A=27°.

11.證明:連接OA,OC,如圖.

OA=OB,OB=OC,

∠ABO=∠BAO,∠CBO=∠BCO.

BO平分∠ABC,

∠ABO=∠CBO,

∠BAO=∠BCO,

OAB≌OCB,BA=BC.

12

解:連接OA,OD,OF,如圖.四邊形ABCD為正方形,CD=AB.又OD=OA,OC=OD2-CD2,OB=OA2-AB2,OC=OB.

設(shè)OB=x,則OE=x+4,AB=2x.

在RtAOB中,OA2=OB2+AB2=x2+(2x)2=5x2.在RtOEF中,OF2=OE2+EF2=(x+4)2+42.

又OA=OF,(x+4)2+42=5x2.

篇（4）

數(shù)學(xué)是以現(xiàn)實(shí)世界中的空間形式和數(shù)量關(guān)系為研究對(duì)象的學(xué)科，由于一切事物的特性或事物間的關(guān)系在不同程度上都需要通過(guò)一定的量的關(guān)系來(lái)加以描述，因此數(shù)學(xué)是我們認(rèn)識(shí)世界的基礎(chǔ)。在人類不斷認(rèn)識(shí)和改造世界的過(guò)程中數(shù)學(xué)自身也在發(fā)展，它已成為現(xiàn)代社會(huì)中一般成員必備的科學(xué)文化素養(yǎng)，是各類勞動(dòng)者不可缺少的知識(shí)，更是學(xué)習(xí)各專業(yè)知識(shí)的重要基礎(chǔ)。在各類專業(yè)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)都是作為一門重要的必修課，因?yàn)閿?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)直接影響專業(yè)知識(shí)、技能的學(xué)習(xí)。在數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)概念是非常重要的一個(gè)內(nèi)容，正確地理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)鍵，是進(jìn)行數(shù)學(xué)判斷、推理的前提。只有概念明確，才能判斷準(zhǔn)確，推理有據(jù)，只有深刻理解數(shù)學(xué)概念，才能提高解題的能力。因此，搞好數(shù)學(xué)概念教學(xué)是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的一個(gè)重要方面，本文就數(shù)學(xué)概念的教學(xué)談幾種方法。

從實(shí)例引入

數(shù)學(xué)知識(shí)是前人通過(guò)辛勤的智力勞動(dòng)獲得、積累并證明的正確結(jié)論，它的獲得過(guò)程蘊(yùn)含著培養(yǎng)智力的因素，它所運(yùn)用的歸納、論證、推理等邏輯方法訓(xùn)練人的思維，具有可貴的啟發(fā)智力的作用。數(shù)學(xué)內(nèi)容可分為科學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容和作為教材的數(shù)學(xué)內(nèi)容；科學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容一般結(jié)論精確、邏輯嚴(yán)密，作為科學(xué)專著，其目的是讓讀者明確并信服相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論。而作為教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)，其教材除了保證必要的嚴(yán)謹(jǐn)性以外，更力求于理解。它不僅要保證相應(yīng)的理論和方法讓學(xué)生信服，而且還要讓學(xué)生完全理解，還必須吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，能夠提高學(xué)生的能力。但由于篇幅等因素，一般的教材，尤其是職業(yè)學(xué)校的教材，不可能具備上述條件，因此教師就要想辦法，充分備課加以補(bǔ)充，尤其是對(duì)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)。數(shù)學(xué)概念分為原始概念和推出概念。對(duì)于原始概念，不能用別的數(shù)學(xué)概念去定義，只能從實(shí)際事例中抽象理解。如集合、平面等。對(duì)于一般的概念，在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中，往往忽視給概念，下定義的過(guò)程，而僅僅強(qiáng)調(diào)“從定義出發(fā)”，只是注重了內(nèi)容的學(xué)習(xí)。如果從概念定義到概念定義或采取直接定義的方式來(lái)引入某個(gè)數(shù)學(xué)概念，學(xué)生也不易理解，也沒(méi)有注重思維方法的培養(yǎng)，這不符合數(shù)學(xué)發(fā)展智力的作用和素質(zhì)教育的要求，因?yàn)閷W(xué)生沒(méi)有參與概念的形成。即便是死記硬背，把概念機(jī)械地記下來(lái)，也只能是知其然不知其所以然。而運(yùn)用啟發(fā)式從實(shí)例出發(fā)經(jīng)過(guò)分析、比較、綜合、抽象、概括等一系列思維活動(dòng)，不但能理解抽象的數(shù)學(xué)概念，而且學(xué)生充分參與到概念的形成中，培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力。因此在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，如果是原始概念，最好用實(shí)例去解釋，讓學(xué)生來(lái)理解。而對(duì)于一般的數(shù)學(xué)概念，也要從具體實(shí)例出發(fā)，運(yùn)用啟發(fā)式，讓學(xué)生參與到概念的形成中去。例如函數(shù)的概念，就可以運(yùn)用生活中的實(shí)例：以一種書的數(shù)量、書價(jià)與所付款的關(guān)系來(lái)進(jìn)行講述，形成自變量、應(yīng)變量的關(guān)系，抽象出數(shù)學(xué)概念。對(duì)于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)來(lái)說(shuō)，從實(shí)例引入，抽象出數(shù)學(xué)概念是一種很好的方法，當(dāng)然不能一概而論。

概念對(duì)比法

在數(shù)學(xué)中，概念非常多，而且很相象。學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)易產(chǎn)生混淆。采用對(duì)比法，可幫助學(xué)生對(duì)概念的理解，如指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)。通過(guò)分析它們的區(qū)別從而使學(xué)生分清各函數(shù)的性質(zhì)，以便利用性質(zhì)解題。如果把新概念與舊概念對(duì)照起來(lái)講，不僅能使學(xué)生比較順利地接受、理解新概念，還能使學(xué)生從中看到新舊概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，對(duì)理解新舊概念都有幫助。如函數(shù)概念是反函數(shù)概念的基礎(chǔ)，對(duì)于反函數(shù)概念的理解，是在函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，因?yàn)榉春瘮?shù)也是函數(shù)，符合函數(shù)的概念。通過(guò)學(xué)習(xí)反函數(shù)，又加深了對(duì)函數(shù)概念的理解。因此運(yùn)用對(duì)比法進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)，尤其是對(duì)于相似的數(shù)學(xué)概念非常有效，所以這也是幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的一種方法。轉(zhuǎn)貼于

從簡(jiǎn)單概念引出復(fù)雜概念

許多概念是由其他概念推出來(lái)的，而數(shù)學(xué)知識(shí)具有嚴(yán)密的邏輯性，前一個(gè)知識(shí)往往是后一個(gè)知識(shí)的條件或基礎(chǔ)。因此對(duì)于數(shù)學(xué)概念來(lái)說(shuō)，除原始概念外，都是前一個(gè)概念的深化和更高度的概括。所以在講授新概念、尤其是復(fù)雜的概念時(shí)，若能在舊概念、舊知識(shí)的基礎(chǔ)上，從簡(jiǎn)單的概念入手，引出復(fù)雜概念，從低級(jí)概念引出高級(jí)概念，則能起到很好的過(guò)渡作用。如利用學(xué)生熟悉的變速直線運(yùn)動(dòng)中求某一時(shí)刻的速度的方法引入導(dǎo)數(shù)概念，會(huì)很容易理解導(dǎo)數(shù)的概念。利用這種方法，大大降低了學(xué)生接受復(fù)雜概念的難度。因此，利用深入淺出的方法來(lái)理解復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念也是一種化難為易的好方法。

利用圖像法

有的數(shù)學(xué)概念可以利用圖像進(jìn)行輔助教學(xué)，例如函數(shù)的特性（單調(diào)性、有界性、周期性）、導(dǎo)數(shù)的幾何意義都可以利用畫圖的方法進(jìn)行直觀說(shuō)明。圖像具有直觀性，對(duì)于較復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念用圖像來(lái)說(shuō)明可以達(dá)到事半功倍的效果。

篇（5）

概念，思維的基本形式之一，反映客觀事物的一般的、本質(zhì)的特征。人類在認(rèn)識(shí)過(guò)程中，把所感覺到的事物的共同特點(diǎn)抽出來(lái)，加以概括，就成為概念。因此，概念從邏輯結(jié)構(gòu)上看，就是反映某種事物及其特有的本質(zhì)特性的思維形式。具體到數(shù)學(xué)教科書來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)概念指的就是書本中那些名詞術(shù)語(yǔ)的釋義。它們中，一類是占量較多而給一定義的，如有理數(shù)、無(wú)理數(shù)、方程、平行、垂直、相似形、軸對(duì)稱圖形、函數(shù)、數(shù)列、數(shù)列的極限等等，另一類是占量較少而不給定義的，如點(diǎn)、直線、平面、集合、對(duì)應(yīng)、同側(cè)、異側(cè)等等，對(duì)它們只做些簡(jiǎn)單描述性的說(shuō)明。

每一個(gè)概念都有它自身的內(nèi)涵和外延。內(nèi)涵是指這一概念所包括的對(duì)象的一切基本屬性的總和，外延是指適合于每一概念的一切對(duì)象。概念的內(nèi)涵和外延之間，還存在著反比例的關(guān)系，即概念內(nèi)涵擴(kuò)大，外延就縮??；內(nèi)涵縮小，外延就擴(kuò)大。概念有種（概念）、類（概念）之分，平行四邊形和菱形的關(guān)系正好說(shuō)明這一點(diǎn)。

二、數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)規(guī)律的前提。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的一般知識(shí)，它包括定義、定理、公式、性質(zhì)、法則。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)中進(jìn)行邏輯推理的基礎(chǔ)。如果概念不清或錯(cuò)誤，那么由概念構(gòu)成的判斷、推理就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤的論證和運(yùn)算，更談不上得出正確的結(jié)果。例如初中數(shù)學(xué)中算術(shù)根的教學(xué)，近幾年使用的教材是這樣描述的：正數(shù)正的方根叫算術(shù)根。顯然這是定義，而下定義的概念（正數(shù)正的方根）的外延（所有正數(shù)的方根）容易被下定義概念的外延（所有正數(shù)正方根，所有零的方根）。這違反了下定義的外延相等的規(guī)定，于是就成了一個(gè)過(guò)窄的定義，在這種過(guò)窄的定義的指導(dǎo)下，學(xué)生在理解時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤。例如:

1.當(dāng)x為何值時(shí) =- 。

解：當(dāng)X＜-1時(shí)等式成立。

2.求函數(shù)Y= 的定義域。

解：X＞-3的一切允許值是該函數(shù)的定義域。

上述二例忽略了X=-1和X=-3時(shí)的可能性，使題解失去了完整性。因此，正確的算術(shù)根的定義應(yīng)該是：非負(fù)數(shù)的非負(fù)平方根的叫算術(shù)根。

三、在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何利用數(shù)學(xué)概念

1.尋求形成根源，理解概念。

數(shù)學(xué)概念教學(xué)的第一步是引入概念，它是理解和應(yīng)用概念的前提，如何引入呢？我覺得應(yīng)從尋求其形成的根源入手。

幾乎每一個(gè)數(shù)學(xué)概念的引入都伴隨著一個(gè)動(dòng)人的故事，如引入無(wú)理數(shù)時(shí)，可向?qū)W生介紹無(wú)理數(shù)發(fā)現(xiàn)的背景；又如講解析幾何時(shí)可向?qū)W生介紹笛卡爾，講二項(xiàng)式定理時(shí)可向?qū)W生介紹楊輝三角。了解一個(gè)概念的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，有利于學(xué)生對(duì)某一概念的形成，同時(shí)，數(shù)學(xué)史也是對(duì)學(xué)生進(jìn)行思想教育的極好教材。

2.用直觀的對(duì)比方法引入概念。

新數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)別指出：抽象數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，要關(guān)注概念的實(shí)際背景和形成過(guò)程，幫助學(xué)生克服機(jī)械記憶概念的學(xué)習(xí)方式。一個(gè)概念在學(xué)生思想上的形成是有一定過(guò)程的，教師在教學(xué)中應(yīng)從具體到抽象、從現(xiàn)象到本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生逐步形成概念，運(yùn)用直觀對(duì)比的方法引入概念，就可以達(dá)到新課標(biāo)提出的要求。它往往比單純孤立地講授概念效果要好。它可以將抽象思維轉(zhuǎn)化為形象思維，這樣既可避免學(xué)生聽起來(lái)感到枯燥無(wú)味，又可減輕他們記憶的負(fù)擔(dān)。在中學(xué)數(shù)學(xué)里，不少內(nèi)容是可以通過(guò)直觀對(duì)比方法來(lái)引入的，如：立體幾何里講異面直線概念時(shí)，可以先讓學(xué)生觀察教室里或生活中的各種實(shí)例，再看異面直線的模型，抽出本質(zhì)特征，概括出異面直線的定義，并畫出直觀圖，即沿著實(shí)例――模型――圖形――想象的順序逐步抽象形成正確的概念?，F(xiàn)行的各種版本的新教材中，在每章的前面，都設(shè)計(jì)了“章頭圖”，這些圖形都是學(xué)生們非常熟悉的事物，以此加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)。有些內(nèi)容，若“數(shù)”、“形”能夠結(jié)合的一定要盡量結(jié)合起來(lái)講，不能怕麻煩，如在實(shí)數(shù)集合、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等內(nèi)容的教學(xué)中，都可以用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)組織教學(xué)。

3.利用聯(lián)系對(duì)比，鞏固概念。

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，有許多概念既有本質(zhì)不同的面，又有內(nèi)在聯(lián)系的一面，教學(xué)中，如果只注意某一概念的本身，忽視不同概念之間的聯(lián)系，那么就會(huì)使學(xué)生對(duì)概念的掌握停留在膚淺的表面上。因此，我們應(yīng)采用聯(lián)系對(duì)比的教學(xué)方法使學(xué)生區(qū)別異同，防止概念的混淆，起到深化鞏固概念的作用。

如：函數(shù)，結(jié)合中學(xué)階段所講的函數(shù)概念，指出函數(shù)就是從定義域到值域的一類特殊映射，所以映射中的集合A、B必須是非空的數(shù)的集合；其次，作為函數(shù)其對(duì)應(yīng)關(guān)系與映射也不盡相同，請(qǐng)看下列從集合A、到集合B的映射（AB中元素為實(shí)數(shù)）。

（1）在圖（a）中，B中每一個(gè)元素在A中都有唯一的原象；

（2）在圖（b）中，B中每一個(gè)元素在A中都有原象（但不唯一）；

（3）在圖（c）中，B中部分元素A中無(wú)原象（b3）。

那么圖(a)(b)相應(yīng)的映射無(wú)謂函數(shù)，而圖(c)則不是函數(shù)。映射作為函數(shù)，必須滿足以下兩條：集體A，B是非空的數(shù)的集合；集合B中每一個(gè)元素在A中都有原象。

4.用發(fā)展、變化的觀點(diǎn)，深化概念。

篇（6）

數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)二：對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的把握。基本數(shù)學(xué)概念背后往往蘊(yùn)涵重要的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)的思想方法極為豐富，小學(xué)階段主要涉及哪些數(shù)學(xué)的思想方法呢？這些思想方法如何在教學(xué)中落實(shí)呢？我們的基本觀點(diǎn)是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念和解決問(wèn)題中落實(shí)。小學(xué)階段的重要思想方法有：分類思想、轉(zhuǎn)化思想（叫“化歸思想”可能更合適）、數(shù)形結(jié)合思想、一一對(duì)應(yīng)思想、函數(shù)思想、方程思想、集合思想、符號(hào)化思想、類比法、不完全歸納法等。

數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)三：對(duì)數(shù)學(xué)特有思維方式的感悟。每一學(xué)科都有其獨(dú)特的思維方式和認(rèn)識(shí)世界的角度，數(shù)學(xué)也不例外，尤其數(shù)學(xué)又享有“鍛煉思維的體操、啟迪智慧的鑰匙”的美譽(yù)。小學(xué)階段的主要思維方式有：比較、類比、抽象、概括、猜想――驗(yàn)證，其中“概括”是數(shù)學(xué)思維方式的核心。

篇（7）

能力的基礎(chǔ)。

中學(xué)數(shù)學(xué)里有各種各樣的概念，由于各個(gè)概念的具體內(nèi)容，和它在數(shù)學(xué)中地位和作用的不同，數(shù)學(xué)概念有主要和次要之分，有難學(xué)和易學(xué)之分，有一般和關(guān)鍵之分。因此，對(duì)各個(gè)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)具體要求也應(yīng)有區(qū)別。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)數(shù)學(xué)中一些重要概念的教學(xué)應(yīng)使學(xué)生得到較系統(tǒng)的知識(shí)，即使學(xué)生認(rèn)識(shí)了概念是如何產(chǎn)生和發(fā)展的，但要明確數(shù)學(xué)概念，最主要的就是使學(xué)生掌握概念的內(nèi)涵和外延及其表達(dá)形式（也包括定義名詞符號(hào)），還要了解有關(guān)概念之間的關(guān)系，成為系統(tǒng)的知識(shí)，并能運(yùn)用概念知識(shí)來(lái)了解數(shù)學(xué)問(wèn)題。即要求理解、鞏固、系統(tǒng)、會(huì)用，為了達(dá)到這樣的要求，下面探討有關(guān)數(shù)學(xué)概念的教法問(wèn)題。

1、數(shù)學(xué)中如何引入新數(shù)學(xué)概念

有的數(shù)學(xué)概念是直接從客觀事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映出來(lái)的，有的則是在抽象的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上經(jīng)過(guò)及其抽象才產(chǎn)生發(fā)展出來(lái)的。

但是數(shù)學(xué)概念不管如何抽象，都有它具體內(nèi)容，對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)概念的具體內(nèi)容，中學(xué)生在生活和學(xué)習(xí)過(guò)程中，或多或少都有過(guò)接觸。因此在中學(xué)進(jìn)行新概念教學(xué)時(shí)，既要從學(xué)生接觸過(guò)的具體內(nèi)容引入，也要從數(shù)學(xué)內(nèi)部的問(wèn)題提出，這是比較好的一種教學(xué)方法。

例如：正負(fù)數(shù)的教學(xué)，一般是從有相反意義的量引入正數(shù)和負(fù)數(shù)，同時(shí)也要從正數(shù)減法運(yùn)算產(chǎn)生矛盾，指出需要引入負(fù)數(shù)，又如無(wú)理數(shù)的概念教學(xué)可以無(wú)公度量的存在引出無(wú)理數(shù)，也可以從正數(shù)開方的產(chǎn)生矛盾引入無(wú)理數(shù)。

2、數(shù)學(xué)概念的外延和內(nèi)涵的教學(xué)方法

對(duì)于原始概念的教學(xué)，一般是通過(guò)對(duì)具體事例的觀察，找出某些特性，并給予說(shuō)明或描述，使學(xué)生認(rèn)識(shí)這個(gè)原始概念所反映的現(xiàn)象的范圍和屬性。例如在幾何中關(guān)于“點(diǎn)”的教學(xué)，可以讓學(xué)生觀察箭頭的尖端木板上外刺得痕跡，從而抽象出“占有位置而無(wú)大小”的概念，還應(yīng)說(shuō)明大小關(guān)系式無(wú)足輕重的，也就是對(duì)它的大小不加可否。正因?yàn)樗撾x世界的物質(zhì)內(nèi)容，因此在數(shù)學(xué)中就可以吧箭頭的尖端，或者針刺的痕跡作為“點(diǎn)”的模型。

對(duì)于定義的概念教學(xué)應(yīng)重點(diǎn)講解定義中的種概念和屬概念的類差，使學(xué)生認(rèn)識(shí)被定義的概念既具有它的種概念的一切屬性，又具有它自己獨(dú)有的特性既定義中的類差，這樣學(xué)生就初步認(rèn)識(shí)了概念的內(nèi)涵。為了是學(xué)生對(duì)所學(xué)的概念加深認(rèn)識(shí)，可以用概念的分類方法或者與其他有關(guān)概念比較的方法，進(jìn)一步弄清楚概念和概念之間的關(guān)系，既概念的外延。

例如，在平面幾何中，講授圓的概念時(shí)，應(yīng)強(qiáng)調(diào)指出圓是“平面內(nèi)點(diǎn)的集合”這就是把圓與球面區(qū)別開來(lái)。另外還應(yīng)強(qiáng)調(diào)指出，圓具有它自己的特性，即圓的任一點(diǎn)具有“到一定點(diǎn)等于定長(zhǎng)”這個(gè)性質(zhì)，這就是圓區(qū)別于其他平面、曲線的特征。學(xué)生掌握了圓的內(nèi)涵與外延，就不難了解為什么一般圓弧不叫圓，也不難理解球和圓的區(qū)別。

3、如何使學(xué)生認(rèn)識(shí)概念間的關(guān)系

中學(xué)數(shù)學(xué)概念在教學(xué)過(guò)程中是不斷發(fā)展的，根據(jù)概念的互相聯(lián)系構(gòu)成一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)必須使學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念間的關(guān)系，從而系統(tǒng)掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。

為了使學(xué)生認(rèn)識(shí)概念間的關(guān)系，數(shù)學(xué)上一般采用概念分類，或者比較概念的內(nèi)涵和外延，找出它們的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，從而找出它們的各種關(guān)系，如同一關(guān)系、包含關(guān)系等。

例如，為了使學(xué)生對(duì)實(shí)數(shù)概念得到較全面系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，在復(fù)習(xí)實(shí)數(shù)概念時(shí)可以先把實(shí)數(shù)進(jìn)行分類，寫出分類表。通過(guò)分類表指出數(shù)的概念從自然數(shù)到有理數(shù)導(dǎo)實(shí)數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程，進(jìn)一步比較各種數(shù)集及其運(yùn)算性質(zhì)。從而指出數(shù)的概念擴(kuò)充原則以及各種數(shù)集間的關(guān)系。這樣，學(xué)生會(huì)對(duì)數(shù)的概念得到清晰的系統(tǒng)的知識(shí)。

4、要是學(xué)生正確理解并運(yùn)用數(shù)學(xué)概念的名稱和符號(hào)

篇（8）

【中圖分類號(hào)】 G424 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1006-5962（2013）02（b）-0042-01

1 數(shù)學(xué)公理化方法概述

1.1 數(shù)學(xué)公理化方法的內(nèi)涵

純形式公理化方法的特征是具有高度的形式化和抽象化，系統(tǒng)的基本概念、基本關(guān)系用抽象的符號(hào)表示，命題由符號(hào)組成的公式表示，命題的證明用一個(gè)公式串表達(dá)。一個(gè)符號(hào)化的形式系統(tǒng)只有在解釋之后才有意義。同時(shí)，作為一個(gè)符號(hào)化的形式系統(tǒng)，可以用來(lái)提供簡(jiǎn)潔精確的形式化語(yǔ)言；提供數(shù)量分析及計(jì)算的方法；提供邏輯推理的工具。

公理化方法的具體形態(tài)有三種：實(shí)體性公理化方法、形式公理化方法和純形式公理化方法，用它們建構(gòu)起來(lái)的理論體系分別為《幾何原本》、《幾何基礎(chǔ)》和ZFC公理系統(tǒng)。

1.2 公理化方法的基本思想

數(shù)學(xué)是撇開現(xiàn)實(shí)世界的具體內(nèi)容來(lái)研究其量性特征形式與關(guān)系的。其結(jié)果只有經(jīng)過(guò)證明才可信，而數(shù)學(xué)證明采用的是邏輯推理方法，根據(jù)邏輯推理的規(guī)則，每步推理都要有個(gè)大前提，我們不難想象到，最初的那個(gè)大前提是不可能再由另外的大前提導(dǎo)出的，既是說(shuō)，我們的逆推過(guò)程總有個(gè)“盡頭”，同樣，概念需要定義，新概念由前此概念定義，必也出現(xiàn)這樣的情況最原始的概念無(wú)法定義。

因此，我們要想建立一門科學(xué)的嚴(yán)格的理論體系，只能采取如下方法：讓該門學(xué)科的某些概念以及與之有關(guān)的某些關(guān)系作為不加定義的原始概念與公設(shè)或公理，而以后的全部概念及其性質(zhì)要求均由原始概念與公設(shè)或公理經(jīng)過(guò)精確定義與邏輯推理的方法演繹出來(lái)，這種從盡可能少的一組原始概念和公設(shè)或公理出發(fā)，運(yùn)用邏輯推理原則，建立科學(xué)體系的方法叫做公理化方法。

2 數(shù)學(xué)公理化方法的邏輯特征

2.1 協(xié)調(diào)性

無(wú)矛盾性要求在一個(gè)公理系統(tǒng)中，公理之間不能自相矛盾，由公理系推出的結(jié)果也不能矛盾，即不能同時(shí)推出命題A與其否定命題，顯然，這是對(duì)公理系統(tǒng)的最基本的要求。如何證明給定的公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性呢？若想通過(guò)“由這一公理系作出全部可能的推論并指出其中沒(méi)有矛盾”來(lái)證明是不可能的。

2.2 獨(dú)立性

獨(dú)立性要求在一個(gè)公理系統(tǒng)中，被選定的公理組中任何一個(gè)公理都不能由其他公理推出。獨(dú)立性其實(shí)要求的是公理組中公理之間不能有依從關(guān)系，若某一公理被其余公理推出，那它實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)定理，在公理組中就是多余的，所以，獨(dú)立性要求公理組中公理數(shù)目最少。

2.3 完備性

完備性要求在一個(gè)公理系統(tǒng)中，公理組的選取能保證由公理組推出該系統(tǒng)的全部真命題，所以，公理不能過(guò)少，否則就推不出某些真命題，這是關(guān)于完備性的古典定義?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)常借助模型的同構(gòu)給公理系的完備性下定義，即如果公理系T的所有模型或解釋都彼此同構(gòu)，就稱這個(gè)公理系是完備的。

在上述公理化方法的三個(gè)特征中，無(wú)矛盾性是最重要而又是非有不可的。獨(dú)立性從理論上講，從完美簡(jiǎn)煉上講，應(yīng)該要求，因?yàn)楣砗投ɡ碓谡麄€(gè)系統(tǒng)中處的地位不同，公理是出發(fā)點(diǎn)，定理是推出的，不能混在一塊。但是，獨(dú)立性要求有時(shí)可降低?，F(xiàn)行中學(xué)幾何體系就放棄了這一要求。至于完備性，要求就大大放寬了；而且“從研究完備的公理系確定的對(duì)象轉(zhuǎn)向研究其公理系不完備的對(duì)象”被認(rèn)為是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特征之一。

3 數(shù)學(xué)公理化方法在研究數(shù)學(xué)中的作用和意義

3.1 表述和總結(jié)科學(xué)理論

公理化方法使有關(guān)的理論系統(tǒng)化，把它們按照某種邏輯順序構(gòu)建成一個(gè)系統(tǒng)，因而便于人們系統(tǒng)地理解知識(shí)體系，便于掌握理論的本質(zhì)。它是應(yīng)用演繹推理的基本方法，它為認(rèn)識(shí)世界提供了演繹推理的模式，提供了一種理性證明的手段，它是表述科學(xué)理論一種比較完善的方法，它為各門科學(xué)提供了一種思想方法上的示范和有效的表述手段，有利于促進(jìn)理論的完善和嚴(yán)格化。它賦與數(shù)學(xué)內(nèi)在的統(tǒng)一性，有助于人們了解數(shù)學(xué)各分支、各部門之間的本質(zhì)聯(lián)系。

3.2 完善和創(chuàng)新理論

公理化方法的應(yīng)用要求一門科學(xué)的充分成熟：積累了一定數(shù)量的基礎(chǔ)知識(shí)，進(jìn)行了一定的系統(tǒng)分析和研究，對(duì)該門學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)有了較深入的理解。因此，實(shí)現(xiàn)公理化的過(guò)程也是深入研究理論體系的過(guò)程。采用公理化方法還可以發(fā)現(xiàn)和補(bǔ)充理論系統(tǒng)中的缺陷和漏洞。從而有利于完善已有理論，創(chuàng)建新的理論。

3.3 培養(yǎng)和熏陶人們的邏輯思維能力

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，重要的不在于只是記住概念、公式、定理和法則，而在于學(xué)會(huì)如何去獲得這些知識(shí)，即學(xué)會(huì)正確地進(jìn)行數(shù)學(xué)思維，邏輯思維正是數(shù)學(xué)思維的核心成分之一。邏輯思維能力是一種重要的數(shù)學(xué)能力。而公理化方法使邏輯思維在數(shù)學(xué)中的作用得以充分發(fā)揮，大大提高了數(shù)學(xué)教育的成效，實(shí)現(xiàn)高度的思維經(jīng)濟(jì)，這無(wú)疑對(duì)培養(yǎng)和熏陶學(xué)生的邏輯思維能力有其十分重要的作用和意義。此外，由于公理化方法可以揭示一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)和分支的內(nèi)在規(guī)律性，從而使它系統(tǒng)化，這也無(wú)疑有利于人們學(xué)習(xí)和掌握。

4 結(jié)語(yǔ)

公理化方法是是建立某些抽象學(xué)科的基礎(chǔ)，是加工、整理知識(shí)，建立科學(xué)理論的工具，公理系統(tǒng)的形成是數(shù)學(xué)分支發(fā)展的新起點(diǎn)。公理化方法有助于發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)成果，可以探索各個(gè)數(shù)學(xué)分支的邏輯結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，促進(jìn)和推動(dòng)新理論的創(chuàng)立和發(fā)展。對(duì)各門自然科學(xué)的表述具有積極的借鑒作用。同時(shí)公理化方法對(duì)于學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法及培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力具有重要作用。公理化方法本身及其在數(shù)學(xué)理論和實(shí)踐應(yīng)用中的巨大作用，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展還在繼續(xù)向前發(fā)展。

參考文獻(xiàn)

篇（9）

一、數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的資源開發(fā)

小學(xué)階段，學(xué)生從最簡(jiǎn)單的自然數(shù)開始逐漸接觸分?jǐn)?shù)、小數(shù)等數(shù)系方面的知識(shí)。除了同一數(shù)學(xué)分支的學(xué)習(xí)在不斷地縱向延伸拓展外，學(xué)生還開始慢慢接觸多個(gè)數(shù)學(xué)分支，比如幾何的初步認(rèn)識(shí)，概率統(tǒng)計(jì)方面的初步認(rèn)識(shí)，這些由“標(biāo)準(zhǔn)”的四大知識(shí)領(lǐng)域的劃分就可以得到印證。但是長(zhǎng)期以來(lái)小學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識(shí)主要是集中在其中的兩部分，即：數(shù)與代數(shù)、空間與圖形。這里將以小學(xué)“數(shù)與代數(shù)”知識(shí)領(lǐng)域的一些重要知識(shí)點(diǎn)為基礎(chǔ)，研究其中比較基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)概念，編寫一些適合一線教師在課堂可以直接使用的歷史材料。

（一）自然數(shù)源于“比較”

毫無(wú)疑問(wèn)，自然數(shù)是世界上公認(rèn)的產(chǎn)生最早的一類數(shù)。英譯為nature number，可見中文和英文的意思是一種直接的對(duì)應(yīng)，“有自然而然產(chǎn)生出來(lái)的意思”。通常認(rèn)為原始人類在運(yùn)用匹配的方式計(jì)數(shù)以及考察動(dòng)作的順序時(shí)產(chǎn)生了自然數(shù)的概念，在自然數(shù)的概念產(chǎn)生的同時(shí)也產(chǎn)生了自然數(shù)的算術(shù)四則運(yùn)算法則，隨著運(yùn)算的發(fā)展即自然數(shù)在生活中的應(yīng)用，自然數(shù)的概念逐漸完善。

最初，原始人過(guò)著居無(wú)定所的“流浪”生活，靠狩獵為生。在長(zhǎng)期狩獵與分配的過(guò)程中，他們逐漸形成了“有”和“無(wú)”、“多”和“少”的概念。在“有”中漸漸知道“1”和“多”的區(qū)別。例如，收獲獵物與空手而歸，就產(chǎn)生了“有”和“無(wú)”的概念；在分配獵物時(shí)，每人一個(gè)一個(gè)地分，以滿足每個(gè)人得到的數(shù)量能相等，在每人分一個(gè)不夠時(shí)和每人分完一個(gè)還有剩余時(shí)，就產(chǎn)生了“少”和“多”的概念。有研究表明：有些動(dòng)物也有能辨別數(shù)目多少的才能。這種按人數(shù)一個(gè)一個(gè)地分配獵物，事實(shí)上就是匹配的方法，這里蘊(yùn)含的是“對(duì)應(yīng)”的思想，在歷史上被稱為“數(shù)學(xué)的第一次抽象”。或許這就是函數(shù)“對(duì)應(yīng)法則”的最初原型吧。初入學(xué)的小學(xué)生和原始人認(rèn)識(shí)自然數(shù)的思維過(guò)程是相似的。心理學(xué)研究表明，低年級(jí)學(xué)生的數(shù)概念已基本形成，能夠理解數(shù)與實(shí)物的對(duì)應(yīng)關(guān)系。所以，在低年級(jí)引入自然數(shù)的概念時(shí)，應(yīng)該考慮到孩子的心理特點(diǎn)：先叫他們感受“有”和“無(wú)”的區(qū)別，然后再辨別數(shù)量的“多”和“少”。而在一年級(jí)教材中，也正是先讓學(xué)生認(rèn)識(shí)具體物體的個(gè)數(shù)，然后才抽象出數(shù)的概念的。教師在此階段的教學(xué)中，不可急于求成，讓學(xué)生慢慢地在“掰著手指頭”“一一匹配”的基礎(chǔ)上，感知事物數(shù)量的多少關(guān)系。

在生產(chǎn)實(shí)踐中，人們匹配的對(duì)象不斷擴(kuò)展，例如手指、小石頭、貝殼等等。盡管匹配的對(duì)象多種多樣，但是人們發(fā)現(xiàn)它們?cè)跀?shù)量上有某種共性，例如一根手指、一塊石頭、一個(gè)貝殼等，都包含有一個(gè)共同的特征“一”，這樣就抽象出了數(shù)字“1”的概念。英國(guó)哲學(xué)家兼數(shù)學(xué)家伯特蘭羅素（Bertrand Russell，1872~1970）說(shuō)：“當(dāng)人們發(fā)現(xiàn)一對(duì)雛雞和兩天之間有某種共同的東西（數(shù)字2）時(shí)，數(shù)學(xué)就誕生了”。當(dāng)然，也就隨之逐漸地抽象出用來(lái)表示數(shù)字的“2”“3”等等，但是隨著感知數(shù)量的增加，先民卻很難突破大于3的數(shù)，大于3的數(shù)他們都理解為一堆或一群。對(duì)于兒童而言也是如此，所以一年級(jí)的小學(xué)生先學(xué)習(xí)0-9的認(rèn)識(shí)和運(yùn)算，在學(xué)生學(xué)習(xí)基本的點(diǎn)數(shù)動(dòng)作語(yǔ)言之后，接著學(xué)習(xí)10-20的認(rèn)識(shí)和運(yùn)算。慢慢這些匹配的對(duì)象演化為人們的記數(shù)工具。由于這種記數(shù)工具不易攜帶和保存，人們想到用結(jié)繩的方法來(lái)記數(shù)，并逐漸發(fā)展為在石頭、木、竹片或骨上來(lái)“刻痕記數(shù)”。但是人類把數(shù)的共同特征抽象出來(lái)，并采用與大多數(shù)具體事物無(wú)關(guān)的某個(gè)語(yǔ)音來(lái)代替它，或許經(jīng)歷了很長(zhǎng)時(shí)間。既然如此，在運(yùn)算教學(xué)中，應(yīng)讓學(xué)生借助大量直觀的“匹配”活動(dòng)，比如數(shù)手指等，慢慢形成抽象的自然數(shù)。而不能急于求成，直接將運(yùn)算知識(shí)交給孩子。這對(duì)學(xué)生思維的發(fā)展是毫無(wú)益處的。

（二）分?jǐn)?shù)源于“分”的需要

隨著人類社會(huì)發(fā)展的不斷進(jìn)步、人類實(shí)踐活動(dòng)范圍的不斷推廣，在生產(chǎn)分配過(guò)程中常出現(xiàn)不能均分的情況、在測(cè)量或計(jì)算時(shí)不能得到整數(shù)的結(jié)果，分?jǐn)?shù)自然而然就產(chǎn)生了。在小學(xué)，分?jǐn)?shù)概念的引入，也是出現(xiàn)在不能平均整分的情境下。分?jǐn)?shù)的概念從對(duì)漢字的考證來(lái)看，原始分?jǐn)?shù)的概念來(lái)源于連續(xù)量的分割。殷商甲骨文“八”字，據(jù)考釋是“分”的意思；《說(shuō)文八部》中的解釋是“八，別也。象分別相背之形?！敝艽鹞闹幸殉Ｓ谩胺帧弊郑骸胺郑瑒e也。從八而刀，刀以分別物也”?！缎氯A字典》中的解釋可取為“分開，劃分開，跟‘合’相反，引申為取整數(shù)的一部分”。在英語(yǔ)中分?jǐn)?shù)是“fraction”一詞，也有“小部分，片斷”的意思，它能追溯到拉丁詞“frangere”，是“打碎”的意思。它是源自過(guò)去分詞“fractus”的詞干派生的后期拉丁語(yǔ)“fractio”，意為“破裂”或“碎成一片片的”。

盡管各個(gè)國(guó)家的語(yǔ)言文化背景和社會(huì)政治經(jīng)濟(jì)發(fā)展不同，但是對(duì)“分?jǐn)?shù)”概念的理解卻有異曲同工之處，基本都理解為“被分割的數(shù)，被打碎的數(shù)，破碎的數(shù)”。所以，分?jǐn)?shù)在原始人的思維起源應(yīng)是一種事物不能夠均分為幾份了，那么一個(gè)整體就要被“打破了”來(lái)分。

分?jǐn)?shù)的概念最早可以追溯到巴比倫人，他們采用六十進(jìn)位制，但只不過(guò)限于簡(jiǎn)單的、、等。在量的意義上，他們把它當(dāng)作“整體”來(lái)看待，而不是一的幾分之幾，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)是從量的度量（同另一量相比有這種對(duì)應(yīng)關(guān)系）所得出的結(jié)果。例如，當(dāng)把一元錢與一角錢對(duì)比時(shí)，就可以把一角錢寫成，但是卻把本身看成一個(gè)單位而不是一個(gè)分?jǐn)?shù)，這是二者之間的一種“比較”，而不是“二者之比”。而我們今天通常把一元錢看成整體，把一角錢看成它的一部分，那么相對(duì)于一元錢就是一個(gè)分?jǐn)?shù)了。埃及人表示分?jǐn)?shù)的方式比我們今天要復(fù)雜得多。他們通常在整數(shù)上加一個(gè)卵形（或者是一個(gè)小圓點(diǎn)），表明它是分?jǐn)?shù)。除幾個(gè)特殊的分?jǐn)?shù)外，他們的分?jǐn)?shù)一般都拆成單位分?jǐn)?shù)的和的形式。毫無(wú)疑問(wèn)，對(duì)古埃及人來(lái)說(shuō)這其實(shí)是一件極其復(fù)雜的事。古希臘時(shí)期（通常認(rèn)為是公元前600年到前300年）人們把分?jǐn)?shù)看成“兩個(gè)整數(shù)之比，不提到整數(shù)的部分，而且只在比例里用到比”。而且認(rèn)為：宇宙間一切現(xiàn)象都可以歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。事實(shí)上，這乃是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派“萬(wàn)物皆數(shù)”的理念。經(jīng)過(guò)時(shí)間的洗禮，希臘時(shí)期（一般認(rèn)為是公元前300年到公元600年，或稱亞歷山大里亞時(shí)期）他們發(fā)明了特殊記號(hào)來(lái)表示分?jǐn)?shù)。例如，在寫分?jǐn)?shù)時(shí)，他們?cè)诜肿由霞右粋€(gè)重音符號(hào)，然后再把分母寫一次或兩次并加兩個(gè)重音符號(hào)。

從上面能看到古巴比倫、古埃及和希臘，都有關(guān)于分?jǐn)?shù)的記載，但是多是關(guān)于分?jǐn)?shù)如何表示，卻沒(méi)有關(guān)于分?jǐn)?shù)起源的記錄。分?jǐn)?shù)在我國(guó)起源于何時(shí)，有待考證。但是可以說(shuō)，我國(guó)古代數(shù)學(xué)在分?jǐn)?shù)理論方面有著悠久的歷史和卓越的貢獻(xiàn)。有學(xué)者認(rèn)為，中國(guó)是分?jǐn)?shù)的故鄉(xiāng)，分?jǐn)?shù)概念最早可以追溯到商代，即文字出現(xiàn)的初期。在兩周的金文中、戰(zhàn)國(guó)的銅器銘文中、秦漢時(shí)期的著作中，都已出現(xiàn)了表示分?jǐn)?shù)的概念。在《九章算術(shù)》（公元50~100年）以及《九章算術(shù)劉徽注》（公元263年）中都有關(guān)于分?jǐn)?shù)概念、四則運(yùn)算和基本性質(zhì)的詳細(xì)闡述。書中包括“合分術(shù)”“減分術(shù)”“乘分術(shù)”和“經(jīng)分術(shù)”。分?jǐn)?shù)是在“合分術(shù)”中從除法運(yùn)算引進(jìn)的：“實(shí)如法而一。不滿法者，以法命之。”“命之”可理解為命名為分?jǐn)?shù)，即定義為分?jǐn)?shù)。這句話的意思是：被除數(shù)（實(shí)）除以除數(shù)（法），如果不能除盡，則以余數(shù)作分子，除數(shù)作分母，定義一個(gè)分?jǐn)?shù)?？梢哉f(shuō)，《九章算術(shù)》中用除法來(lái)引進(jìn)分?jǐn)?shù)，是對(duì)原始的樸素的分?jǐn)?shù)概念的自然發(fā)展。在古書《孫子算經(jīng)》（約公元300~400年）中記載：“凡除之法，……除得在上方?！瓕?shí)有余者，以法命之，以法為母，實(shí)余為子?！本褪钦f(shuō)，若除不盡有余數(shù)，便用一個(gè)分?jǐn)?shù)來(lái)表示，以法作分母，以余下的實(shí)作分子?？梢哉f(shuō)“分子、分母”即是“上實(shí)、下法”“分子、分母”估計(jì)大概是形象地取“兒子、母親”之意吧——兒子來(lái)之于母親。

值得注意的是，我國(guó)古代用算籌來(lái)擺置分?jǐn)?shù)，并沒(méi)有分?jǐn)?shù)線，那時(shí)也不需要分?jǐn)?shù)線。據(jù)說(shuō)分?jǐn)?shù)線是阿拉伯人發(fā)明的?，F(xiàn)在的分?jǐn)?shù)表示法也是符合我國(guó)古代所提倡的“上實(shí)、下法”的規(guī)則的，只是在中間加了分?jǐn)?shù)線而已。南北朝時(shí)期（公元420~520年）的《張丘建算經(jīng)》給出了帶分?jǐn)?shù)的乘除問(wèn)題以及分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算問(wèn)題?？梢哉f(shuō)，中國(guó)在此時(shí)就建立起了完整的分?jǐn)?shù)理論。

分?jǐn)?shù)概念的形成與發(fā)展和數(shù)系中其他分支的演變一樣，不同國(guó)家的發(fā)展軌跡不同，但是最后都能達(dá)到殊途同歸。前面主要介紹了分?jǐn)?shù)在幾大文明古國(guó)中的歷史演變，可見對(duì)分?jǐn)?shù)理論貢獻(xiàn)最大的非中國(guó)莫屬?，F(xiàn)在分?jǐn)?shù)的表達(dá)形式也與古代中國(guó)“上實(shí)、下法”的形式一致。將分?jǐn)?shù)的起源和歷史演變講給學(xué)生，無(wú)疑能加深學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)概念的理解和應(yīng)用，同時(shí)能激發(fā)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的親切感和對(duì)祖國(guó)悠久歷史以及眾多發(fā)明的熱愛之情。

二、教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)教師是數(shù)學(xué)教育的主要力量，是將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育從理論到實(shí)踐轉(zhuǎn)換的直接力量。已有研究表明，教師認(rèn)同數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史能有效促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)，能有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，能促進(jìn)學(xué)生智力和非智力的發(fā)展。但是由于受多種因素的限制，比如課堂上沒(méi)有時(shí)間；很多小學(xué)數(shù)學(xué)教師沒(méi)有接受過(guò)專門數(shù)學(xué)史知識(shí)的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，自己對(duì)所教授知識(shí)的歷史并不了解；一些教師力求在課堂上滲透相關(guān)的知識(shí)，但造成的結(jié)果只是流于形式；一些教師課業(yè)任務(wù)繁重，沒(méi)有時(shí)間進(jìn)行相關(guān)知識(shí)的充電以及真正的課堂上沒(méi)有時(shí)間進(jìn)行相關(guān)知識(shí)的補(bǔ)充。產(chǎn)生的結(jié)果是教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史進(jìn)入課堂的價(jià)值認(rèn)可度很高，但在實(shí)際教學(xué)中使用率卻很低的現(xiàn)狀，即所謂的“高評(píng)價(jià)，低應(yīng)用”。鑒于此，需要在數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的途徑和方法方面作一些探討。

綜合國(guó)內(nèi)外學(xué)者的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史進(jìn)入課堂，大體可分為從歷史到教學(xué)和從教學(xué)到歷史兩種模式。從歷史到教學(xué)，即從閱讀歷史資料出發(fā)，思考其和數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)系，反思是否可以為教學(xué)所用，若有聯(lián)系可以運(yùn)用的話，則進(jìn)一步查閱歷史文獻(xiàn)，設(shè)計(jì)適合教學(xué)應(yīng)用的形式應(yīng)用到教學(xué)中，教學(xué)結(jié)束后反思教學(xué)效果并進(jìn)行進(jìn)一步修改和改進(jìn)。從教學(xué)到歷史，即從分析數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo)出發(fā)，根據(jù)目標(biāo)設(shè)計(jì)教學(xué)計(jì)劃，根據(jù)課堂教學(xué)活動(dòng)去查找與之相關(guān)的歷史文本，將歷史文本中相應(yīng)的材料進(jìn)行合理的“再創(chuàng)造”后，運(yùn)用到課堂教學(xué)，教學(xué)結(jié)束后反思教學(xué)效果并進(jìn)行進(jìn)一步修改和改進(jìn)。

三、結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)史不僅僅是單純的數(shù)學(xué)成就的編年記錄，數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展，及其與社會(huì)政治、經(jīng)濟(jì)和一般文化聯(lián)系的一門學(xué)科。而現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教材既不是按歷史發(fā)展來(lái)講，也不是按難易程度來(lái)講，而是所謂的“教育數(shù)學(xué)”，是為了讓學(xué)生“更容易”接受數(shù)學(xué)知識(shí)而特意編寫的。因此，一個(gè)數(shù)學(xué)概念在歷史上是如何產(chǎn)生的？一個(gè)數(shù)學(xué)定理或公式是如何發(fā)現(xiàn)的？一個(gè)數(shù)學(xué)分支是如何起源的？對(duì)這一系列問(wèn)題，教材的編者、授課教師都很少關(guān)注。這樣以來(lái)數(shù)學(xué)成了一門枯燥、呆板的學(xué)科，影響了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和理解。在數(shù)學(xué)教育中融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)中“通過(guò)生動(dòng)豐富的事例，了解數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中若干重要事件、重要人物與重要成果，初步了解數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)對(duì)人類文明發(fā)展的作用，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解，感受數(shù)學(xué)家的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度和鍥而不舍的探索精神?！币赃_(dá)到幫助學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)意義、文化內(nèi)涵，理解和欣賞數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值。即使今后他們不從事數(shù)學(xué)教育或數(shù)學(xué)研究工作，可是正確數(shù)學(xué)觀，以及對(duì)數(shù)學(xué)真切感受，會(huì)使他們受益終身的。

參考文獻(xiàn)：

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中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2016）06-0071

一、數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)和學(xué)習(xí)意義

數(shù)學(xué)概念是反映一類對(duì)象本質(zhì)屬性的思維形式，它具有相對(duì)獨(dú)立性。概念反映的是一類對(duì)象的本質(zhì)屬性，即這類對(duì)象的內(nèi)在的、固有的屬性，而不是表面的屬性，而這類對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式，它們已被舍去了具體物質(zhì)屬性和具體的關(guān)系，僅被抽取出量的關(guān)系和形式構(gòu)造。在某種程度上表現(xiàn)為對(duì)原始對(duì)象具體內(nèi)容的相對(duì)獨(dú)立性。

數(shù)學(xué)概念又具有抽象與具體的雙重性。數(shù)學(xué)概念既然代表了一類對(duì)象的本質(zhì)屬性，那么它是抽象的。以“矩形”概念為例，現(xiàn)實(shí)世界中沒(méi)見過(guò)抽象的矩形，而只能見到形形的具體的矩形。從這個(gè)意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)概念“脫離”了現(xiàn)實(shí)。由于數(shù)學(xué)中使用了形式化、符號(hào)化的語(yǔ)言，使數(shù)學(xué)概念離現(xiàn)實(shí)更遠(yuǎn)，即抽象程度更高。但同時(shí)，正因?yàn)槌橄蟪潭扔?，與現(xiàn)實(shí)的原始對(duì)象聯(lián)系愈弱，才使數(shù)學(xué)概念應(yīng)用愈廣泛。但不管怎么抽象，高層次的概念總是以低層次的概念為其具體內(nèi)容。且數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)推理的基礎(chǔ)部分，就整個(gè)數(shù)學(xué)體系而言，概念是一個(gè)實(shí)在的東西。所以，它既是抽象的又是具體的。

數(shù)學(xué)概念還具有邏輯聯(lián)系性。數(shù)學(xué)中大多數(shù)概念都是在原始概念（原名）的基礎(chǔ)上形成的，并采用邏輯定義的方法，以語(yǔ)言或符號(hào)的形式使之固定。其他學(xué)科均沒(méi)有數(shù)學(xué)中諸概念那樣具有如此精確的內(nèi)涵和如此豐富、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬄?lián)系。

數(shù)學(xué)概念教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)中至關(guān)重要的一項(xiàng)內(nèi)容，是基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能教學(xué)的核心，正確理解概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，學(xué)好概念是學(xué)好數(shù)學(xué)最重要的一環(huán)。一些學(xué)生數(shù)學(xué)之所以差，概念不清往往是最直接的原因，特別像筆者所在學(xué)校這樣的普通中學(xué)的學(xué)生，數(shù)學(xué)素養(yǎng)差的關(guān)鍵是在對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解、應(yīng)用和轉(zhuǎn)化等方面的差異。因此，抓好概念教學(xué)是提高中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的帶有根本性意義的一環(huán)。

從平常數(shù)學(xué)概念的教學(xué)實(shí)際來(lái)看，學(xué)生往往會(huì)出現(xiàn)兩種傾向，其一是有的學(xué)生認(rèn)為基本概念單調(diào)乏味，不去重視它，不求甚解，導(dǎo)致概念認(rèn)識(shí)和理解模糊；其二是有的學(xué)生對(duì)基本概念雖然重視但只是死記硬背，而不去真正透徹理解，只有機(jī)械的、零碎的認(rèn)識(shí)。久而久之，嚴(yán)重影響對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握和應(yīng)用。比如有的學(xué)生認(rèn)為是奇函數(shù)，有的學(xué)生在解題中得到異面直線的夾角為鈍角，有的學(xué)生認(rèn)為函數(shù)與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，這些錯(cuò)誤都是由于學(xué)生對(duì)概念認(rèn)識(shí)模糊造成的。只有真正掌握了數(shù)學(xué)中的基本概念，我們才能把握數(shù)學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)，才能正確、合理、迅速地進(jìn)行運(yùn)算、論證和空間想象。從一定意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)水平的高低，取決于對(duì)數(shù)學(xué)概念掌握的程度。

二、數(shù)學(xué)概念的教學(xué)形式

1. 注重概念的本源、概念產(chǎn)生的基礎(chǔ)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念形成過(guò)程

每一個(gè)概念的產(chǎn)生都有豐富的知識(shí)背景，舍棄這些背景，直接拋給學(xué)生一連串的概念是傳統(tǒng)教學(xué)模式中司空見慣的做法，這種做法常常使學(xué)生感到茫然，丟掉了培養(yǎng)學(xué)生概括能力的極好機(jī)會(huì)。由于概念本身具有的嚴(yán)密性、抽象性和明確規(guī)定性，傳統(tǒng)教學(xué)中往往比較重視培養(yǎng)思維的邏輯性和精確性，在方式上以“告訴”為主讓學(xué)生“占有”新概念，置學(xué)生于被動(dòng)地位，使思維呈現(xiàn)依賴性，這不利于創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)?！皩W(xué)習(xí)最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”。學(xué)生如能在教師創(chuàng)設(shè)的情景中像數(shù)學(xué)家那樣去“想數(shù)學(xué)”，“經(jīng)歷”一遍發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新的過(guò)程，那么在獲得概念的同時(shí)還能培養(yǎng)他們的創(chuàng)造精神。由于概念教學(xué)在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中起著舉足輕重的作用，我們應(yīng)重視在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。引入是概念教學(xué)的第一步，也是形成概念的基礎(chǔ)。概念引入時(shí)教師要鼓勵(lì)學(xué)生猜想，即讓學(xué)生依據(jù)已有的材料和知識(shí)作出符合一定經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)的推測(cè)性想象，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)新概念的最初階段。牛頓曾說(shuō)：“沒(méi)有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)?！辈孪胱鳛閿?shù)學(xué)想象表現(xiàn)形式的最高層次，屬于創(chuàng)造性想象，是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的強(qiáng)大動(dòng)力。因此，在概念引入時(shí)培養(yǎng)學(xué)生敢于猜想的習(xí)慣，是形成數(shù)學(xué)直覺，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本素質(zhì)，也是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的重要因素。

比如，在立體幾何中異面直線距離的概念，傳統(tǒng)的方法是給出異面直線公垂線的概念，然后指出兩垂足間的線段長(zhǎng)就叫做兩條異面直線的距離。教學(xué)可以先讓學(xué)生回顧一下過(guò)去學(xué)過(guò)的有關(guān)距離的概念，如兩點(diǎn)之間的距離，點(diǎn)到直線的距離，兩平行線之間的距離，引導(dǎo)學(xué)生思考這些距離有什么特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)共同的特點(diǎn)是最短與垂直。然后，啟發(fā)學(xué)生思索在兩條異面直線上是否也存在這樣的兩點(diǎn)，它們間的距離是最短的？如果存在，應(yīng)當(dāng)有什么特征？于是經(jīng)過(guò)共同探索，得出如果這兩點(diǎn)的連線段和兩條異面直線都垂直，則其長(zhǎng)是最短的，并通過(guò)實(shí)物模型演示確認(rèn)這樣的線段存在，在此基礎(chǔ)上，自然地給出異面直線距離的概念。這樣做，不僅使學(xué)生得到了概括能力的訓(xùn)練，還嘗到了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的滋味，認(rèn)識(shí)到距離這個(gè)概念的本質(zhì)屬性。

2. 挖掘概念的內(nèi)涵與外延，理解概念

新概念的引入，是對(duì)已有概念的繼承、發(fā)展和完善。有些概念由于其內(nèi)涵豐富、外延廣泛等原因，很難一步到位，需要分成若干個(gè)層次，逐步加深提高。如三角函數(shù)的定義，經(jīng)歷了以下三個(gè)循序漸進(jìn)、不斷深化的過(guò)程：（1）用直角三角形邊長(zhǎng)的比刻畫的銳角三角函數(shù)的定義；（2）用點(diǎn)的坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù)的定義；（3）任意角的三角函數(shù)的定義?？梢姡呛瘮?shù)的定義在三角函數(shù)教學(xué)中可謂重中之重，是整個(gè)三角部分的奠基石，它貫穿于與三角有關(guān)的各部分內(nèi)容并起著關(guān)鍵作用?！澳サ恫徽`砍柴工”，重視概念教學(xué)，挖掘概念的內(nèi)涵與外延，有利于學(xué)生理解概念。

3. 尋找新舊概念之間聯(lián)系，掌握概念

數(shù)學(xué)中有許多概念都有著密切的聯(lián)系，如平行線段與平行向量，平面角與空間角，方程與不等式，映射與函數(shù)等，在教學(xué)中應(yīng)善于尋找，分析其聯(lián)系與區(qū)別，有利于學(xué)生掌握概念的本質(zhì)。再如，函數(shù)概念有兩種定義：一種是初中給出的定義，是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā)，其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系是將自變量的每一個(gè)取值，與唯一確定的函數(shù)值對(duì)應(yīng)起來(lái)；另一種高中給出的定義，是從集合、對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)出發(fā)，其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系是將原象集合中的每一個(gè)元素與象集合中唯一確定的元素對(duì)應(yīng)起來(lái)。從歷史上看，初中給出的定義來(lái)源于物理公式，而函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，函數(shù)可用圖像、表格、公式等表示，所以高中用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫函數(shù)，抓住了函數(shù)的本質(zhì)屬性，更具有一般性。認(rèn)真分析兩種函數(shù)定義，其定義域與值域的含義完全相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系本質(zhì)也一樣，只不過(guò)敘述的出發(fā)點(diǎn)不同，所以兩種函數(shù)的定義，本質(zhì)是一致的。當(dāng)然，對(duì)于函數(shù)概念真正的認(rèn)識(shí)和理解是不容易的，要經(jīng)歷多次接觸的、較長(zhǎng)的過(guò)程。

4. 運(yùn)用數(shù)學(xué)概念解決問(wèn)題，鞏固概念