序論：好文章的創(chuàng)作是一個不斷探索和完善的過程，我們?yōu)槟扑]十篇數(shù)學(xué)教學(xué)案例范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質(zhì)，帶來更深刻的閱讀感受。

篇（1）

初中數(shù)學(xué)教學(xué)案例參考一

教學(xué)目標(biāo)

1， 掌握有理數(shù)的概念，會對有理數(shù)按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，培養(yǎng)分類能力;

2， 了解分類的標(biāo)準(zhǔn)與分類結(jié)果的相關(guān)性，初步了解“集合”的含義;

3， 體驗(yàn)分類是數(shù)學(xué)上的常用處理問題的方法。

教學(xué)難點(diǎn)

正確理解分類的標(biāo)準(zhǔn)和按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類

知識重點(diǎn)

正確理解有理數(shù)的概念

教學(xué)過程(師生活動) 設(shè)計(jì)理念

探索新知 在前兩個學(xué)段，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了很多不同類型的數(shù)，通過上兩節(jié)課的學(xué)習(xí)，又知道了現(xiàn)在的數(shù)包括了負(fù)數(shù)，現(xiàn)在請同學(xué)們在草稿紙上任意寫出3個數(shù)(同時請3個同學(xué)在黑板上寫出).

問題1：觀察黑板上的9個數(shù)，并給它們進(jìn)行分類.

學(xué)生思考討論和交流分類的情況.

學(xué)生可能只給出很粗略的分類，如只分為“正數(shù)”和“負(fù)數(shù)”或“零”三類，此時，教師應(yīng)給予引導(dǎo)和鼓勵.

例如，

對于數(shù)5，可這樣問：5和5. 1有相同的類型嗎?5可以表示5個人，而5. 1可以表示人數(shù)嗎?(不可以)所以它們是不同類型的數(shù)，數(shù)5是正數(shù)中整個的數(shù)，我們就稱它為“正整數(shù)”，而5. 1不是整個的數(shù)，稱為“正分?jǐn)?shù)，，.??…(由于小數(shù)可化為分?jǐn)?shù)，以后把小數(shù)和分?jǐn)?shù)都稱為分?jǐn)?shù))

通過教師的引導(dǎo)、鼓勵和不斷完善，以及學(xué)生自己的概括，最后歸納出我們已經(jīng)學(xué)過的5類不同的數(shù)，它們分別是“正整數(shù)，零，負(fù)整數(shù)，正分?jǐn)?shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)，’.

按照書本的說法，得出“整數(shù)”“分?jǐn)?shù)”和“有理數(shù)”的概念.

看書了解有理數(shù)名稱的由來.

“統(tǒng)稱”是指“合起來總的名稱”的意思.

試一試：按照以上的分類，你能作出一張有理數(shù)的分類表嗎?你能說出以上有理數(shù)的分類是以什么為標(biāo)準(zhǔn)的嗎?(是按照整數(shù)和分?jǐn)?shù)來劃分的) 分類是數(shù)學(xué)中解決問題的常用手段，這個引入具有開放的特點(diǎn)，學(xué)生樂于參與

學(xué)生自己嘗試分類時，可能會很粗略，教師給予引導(dǎo)和鼓勵，劃分?jǐn)?shù)的類型要從文字所表示的意義上去引導(dǎo)，這樣學(xué)生易于理解。

有理數(shù)的分類表要在黑板或媒體上展示，分類的標(biāo)準(zhǔn)要引導(dǎo)學(xué)生去體會

練一練 1，任意寫出三個有理數(shù)，并說出是什么類型的數(shù)，與同伴進(jìn)行交流.

2，教科書第10頁練習(xí).

此練習(xí)中出現(xiàn)了集合的概念，可向?qū)W生作如下的說明.

把一些數(shù)放在一起，就組成了一個數(shù)的集合，簡稱“數(shù)集”，所有有理數(shù)組成的數(shù)集叫做有理數(shù)集.類似地，所有整數(shù)組成的數(shù)集叫做整數(shù)集，所有負(fù)數(shù)組成的數(shù)集叫做負(fù)數(shù)集……;

數(shù)集一般用圓圈或大括號表示，因?yàn)榧现械臄?shù)是無限的，而本題中只填了所給的幾個數(shù)，所以應(yīng)該加上省略號.

思考：上面練習(xí)中的四個集合合并在一起就是全體有理數(shù)的集合嗎?

也可以教師說出一些數(shù)，讓學(xué)生進(jìn)行判斷。

集合的概念不必深入展開。

創(chuàng)新探究 問題2：有理數(shù)可分為正數(shù)和負(fù)數(shù)兩大類，對嗎?為什么?

教學(xué)時，要讓學(xué)生總結(jié)已經(jīng)學(xué)過的數(shù)，鼓勵學(xué)生概括，通過交流和討論，教師作適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，逐步得到如下的分類表。

有理數(shù) 這個分類可視學(xué)生的程度確定是否有必要教學(xué)。

應(yīng)使學(xué)生了解分類的標(biāo)準(zhǔn)不一樣時，分類的結(jié)果也是不同的，所以分類的標(biāo)準(zhǔn)要明確，使分類后每一個參加分類的象屬于其中的某一類而只能屬于這一類，教學(xué)中教師可舉出通俗易懂的例子作些說明，可以按年齡，也可以按性別、地域來分等

小結(jié)與作業(yè)

課堂小結(jié)

到現(xiàn)在為止我們學(xué)過的數(shù)都是有理數(shù)(圓周率除外)，有理數(shù)可以按不同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，標(biāo)準(zhǔn)不同，分類的結(jié)果也不同。

本課作業(yè)

1， 必做題：教科書第18頁習(xí)題1.2第1題

2， 教師自行準(zhǔn)備

本課教育評注(課堂設(shè)計(jì)理念，實(shí)際教學(xué)效果及改進(jìn)設(shè)想)

1，本課在引人了負(fù)數(shù)后對所學(xué)過的數(shù)按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，提出了有理數(shù)的概

念.分類是數(shù)學(xué)中解決問題的常用手段，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)使學(xué)生了解分類的思想并進(jìn)

行簡單的分類是數(shù)學(xué)能力的體現(xiàn)，教師在教學(xué)中應(yīng)引起足夠的重視.關(guān)于分類標(biāo)準(zhǔn)與分

類結(jié)果的關(guān)系，分類標(biāo)準(zhǔn)的確定可向?qū)W生作適當(dāng)?shù)臐B透，集合的概念比較抽象，學(xué)生真正接受需要很長的過程，本課不要過多展開。

2，本課具有開放性的特點(diǎn)，給學(xué)生提供了較大的思維空間，能促進(jìn)學(xué)生積極主動地參加學(xué)習(xí)，親自體驗(yàn)知識的形成過程，可避免直接進(jìn)行分類所帶來的枯燥性;同時還體現(xiàn)合作學(xué)習(xí)、交流、探究提高的特點(diǎn)，對學(xué)生分類能力的養(yǎng)成有很好的作用。

3，兩種分類方法，應(yīng)以第一種方法為主，第二種方法可視學(xué)生的情況進(jìn)行。

初中數(shù)學(xué)教學(xué)案例參考二

教學(xué)目標(biāo)：

1、明白生活中存在著無數(shù)表示相反意義的量，能舉例說明;

2、能體會引進(jìn)負(fù)數(shù)的必要性和意義，建立正數(shù)和負(fù)數(shù)的數(shù)感。

重點(diǎn)：通過列舉現(xiàn)實(shí)世界中的“相反意義的量”的例子來引進(jìn)正數(shù)和負(fù)數(shù)，要求學(xué)生理解正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義，為以后通過實(shí)例引進(jìn)有理數(shù)的大小比較、加法和乘法法則打基礎(chǔ)。

難點(diǎn)：對負(fù)數(shù)的意義的理解。

教學(xué)過程：

一、知識導(dǎo)向：

本節(jié)課是一個從小學(xué)過渡的知識點(diǎn)，主要是要抓緊在數(shù)范圍上擴(kuò)充，對引進(jìn)“負(fù)數(shù)”這一概念的必要性及意義的理解。

二、新課拆析：

1、回顧小學(xué)中有關(guān)數(shù)的范圍及數(shù)的分類，指出小學(xué)中的“數(shù)”是為了滿足生產(chǎn)和生活的需要而產(chǎn)生發(fā)展起來的。

如：0，1，2，3，…， ，

2、能讓學(xué)生舉例出更多的有關(guān)生活中表示相反意義的量，能發(fā)現(xiàn)事物之間存在的對立面。

如：汽車向東行駛 3千米和向西行駛2千米

溫度是零上10°C和零下5°C;

收入500元和支出237元;

水位升高1.2米和下降0.7米;

3、 上面所列舉的表示相反意義量，我們也許就會發(fā)現(xiàn)：如果只用原來所學(xué)過的數(shù)很難區(qū)分具有相反意義的量。

一般地，對于具有相反意義的量，我們可把其中一種意義的量規(guī)定為正的，用過去學(xué)過的數(shù)表示;把與它意義相反的量規(guī)定為負(fù)的，用過去學(xué)過的數(shù)(零除外)前面放上一個“—”號來表示。

如：在表示溫度時，通常規(guī)定零上為“正”，零下為“負(fù)”即零上10°C表示為10°C，零下5°C表示為-5°C

概括：我們把這一種新數(shù)，叫做負(fù)數(shù)， 如：-3，-45，…

過去學(xué)過的那些數(shù)(零除外)叫做正數(shù)，如：1，2.2…

零既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)

例：下面各數(shù)中，哪些數(shù)是正數(shù)，哪些數(shù)是負(fù)數(shù)，

1，2.3，-5.5，68，-，0，-11，+123，…

三、階梯訓(xùn)練：

P18 練習(xí)：1，2，3，4。

四、知識小結(jié)：

從本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容中，應(yīng)能從數(shù)的角度來區(qū)分小學(xué)與初中的異同點(diǎn)，通過運(yùn)用發(fā)現(xiàn)相反意義量，能理解引進(jìn)“負(fù)數(shù)”的必要性及其意義。

五、作業(yè)鞏固：

1、每個同學(xué)分別舉出5個生活中表示相反意義量的的例子;并用正、負(fù)數(shù)來表示;

2、分別舉出幾個正數(shù)與負(fù)數(shù)(最少6個)。

3、P20 習(xí)題2.1：1題。

初中數(shù)學(xué)教學(xué)案例參考三

教學(xué)目標(biāo)：

1、理解有理數(shù)的概念，懂得有理數(shù)的兩種分類，及對一個有理數(shù)進(jìn)行分類判別;

2、在數(shù)的分類中，應(yīng)加強(qiáng)對負(fù)數(shù)的理解及對零在數(shù)分類中的特殊意義的理解。

重點(diǎn)：在引進(jìn)負(fù)數(shù)后，能對已有的各種數(shù)進(jìn)行概括，理解有理數(shù)的意義，及有理數(shù)的兩種不同分類的重要意義。

難點(diǎn)：在對有理數(shù)的認(rèn)識上，應(yīng)加強(qiáng)對負(fù)數(shù)及零的重視，明確兩者在有理數(shù)集的地位與作用。

教學(xué)過程：

一、知識導(dǎo)向：

通過上節(jié)課對“負(fù)數(shù)“概念的引入，通過對數(shù)范圍的補(bǔ)充及擴(kuò)大，進(jìn)一步引入了有理數(shù)的概念，并對擴(kuò)大后的數(shù)的范圍進(jìn)行重新分類。

二、新課拆析：

1、引例：(1)請學(xué)生說出負(fù)數(shù)的特征，并指出實(shí)例說明。

(2)以第(1)題中，學(xué)生所回答的數(shù)進(jìn)一步分析，不同數(shù)的不同特點(diǎn)。

2、通過對“負(fù)數(shù)”的引入，從我們所接觸的數(shù)可發(fā)現(xiàn)有這樣幾類：

正整數(shù)：如1，2，34，…

零：0

負(fù)整數(shù)：如-1，-3，-5，…

正分?jǐn)?shù)：如 …

負(fù)分?jǐn)?shù)：如 -0.3，…

由此我們有：

概括：正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù);

正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù);

整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。

然后根據(jù)我們的概括，我們可以對有理數(shù)進(jìn)行如下的分類

分類一： 分類二：

正整數(shù) 正整數(shù)

整數(shù) 零 正有理數(shù) 正分?jǐn)?shù)

有理數(shù) 負(fù)整數(shù) 有理數(shù) 零

分?jǐn)?shù) 正分?jǐn)?shù) 負(fù)有理數(shù) 負(fù)整數(shù)

負(fù)分?jǐn)?shù) 負(fù)分?jǐn)?shù)

3、有關(guān)集合的簡單知識：

概括：把一些數(shù)放在一起，就組成一個數(shù)的集合，簡稱為數(shù)集;

所有的有理數(shù)組成的數(shù)集叫做有理數(shù)集;

所有的整數(shù)組成的數(shù)集叫做整數(shù)集;……

例：把下列各數(shù)填入表示它所在的數(shù)值的圈里：

-18，3.1416，0，2001，-0.142857，95%

正整數(shù) 負(fù)整數(shù)

整數(shù)集 有理數(shù)集

三、鞏固訓(xùn)練： P20 ，練習(xí)：1，2，3

四、知識小結(jié)：

從有理數(shù)的分類入手，就著重于各類數(shù)的特點(diǎn)，特別是正，負(fù)及零的處理。

篇（2）

案例一：

課題：軌跡的探求

教學(xué)過程（節(jié)選其中一個部分）：教師按傳統(tǒng)的教學(xué)方法，順利地講完了這節(jié)課的內(nèi)容后，講了下面這個問題：

題目：已知M是定圓O上的點(diǎn)，N是圓O所在平面上一定點(diǎn)，線段MN中點(diǎn)為P，當(dāng)M在圓O上運(yùn)動時，求點(diǎn)P的軌跡。

我認(rèn)為這個問題已講清楚了，但學(xué)生的作業(yè)，卻出現(xiàn)了共性問題，許多學(xué)生對如下題目仍不會做。

已知M是定圓O上的點(diǎn)，N是圓O所在平面上一定點(diǎn)，線段MN的垂直平分線與OM的交點(diǎn)為P，與MN的交點(diǎn)為Q，當(dāng)M在圓O上運(yùn)動時，求點(diǎn)P的軌跡。

學(xué)生甲：老師，這個題我不會做。

師：課堂上講的那道題你理解了嗎？

學(xué)生乙：我們都會了，但這個題我們幾個人得出的結(jié)論都不同，我算的是雙曲線，他算的是橢圓，到底誰的對呢，應(yīng)當(dāng)怎么樣考慮呀？

師：你們的結(jié)果為什么不同呢？什么原因產(chǎn)生的？

學(xué)生丙：我解得的是N點(diǎn)在圓上；她倆解得的N點(diǎn)一個在圓外，一個在圓內(nèi)。

師：這就說明，這個題要對N點(diǎn)位置進(jìn)行討論呀。

學(xué)生乙：那還有沒有別的情況呢，怎么樣才能解全面呀？

學(xué)生?。耗敲瓷险n的題目中，當(dāng)N點(diǎn)在不同位置時，又會怎么樣呢？

師：需要進(jìn)行討論分析。

生丁：可我們?nèi)绾尾拍苤?，什么情況下要討論，什么情況下不討論呀？

學(xué)生提出的問題，確實(shí)是他們感到最困惑的。這還是肯動腦子的學(xué)生，其他學(xué)生，通過這堂課的教學(xué)，又明白了多少呢？

對以上案例的反思：

從問題結(jié)論的不確定性可以看出，傳統(tǒng)的教學(xué)方法，無法讓學(xué)生直觀地發(fā)現(xiàn)動點(diǎn)變化的情況，更難以理解結(jié)論產(chǎn)生的原因，即使是教師在教學(xué)過程中反復(fù)強(qiáng)調(diào)，或引導(dǎo)學(xué)生思考，學(xué)生也僅僅只能記住教師所講的結(jié)論，沒有自己的探究和思考，知其然而不知其所以然。由于教師在教學(xué)中只注意強(qiáng)制性地把知識注入學(xué)生腦中，學(xué)生沒有自己主動探索與建構(gòu)，學(xué)生處于被動地位，思維呈依賴性，所以學(xué)生只能消極被動地接受知識，無法達(dá)到有意義地理解和靈活運(yùn)用。

總之，這些現(xiàn)象說明我們的教學(xué)存在著缺陷。多年來，我國基礎(chǔ)教育在培養(yǎng)學(xué)生基礎(chǔ)知識、基本能力上做出了一定的貢獻(xiàn)，這是我國基礎(chǔ)教育的優(yōu)勢所在。但也就是這種優(yōu)勢使我國基礎(chǔ)教育只強(qiáng)調(diào)書本知識的傳授，理解和掌握，強(qiáng)調(diào)解題能力的形成和提高，忽視了學(xué)生綜合素質(zhì)的提高和個性的發(fā)展，特別是學(xué)生自主學(xué)習(xí)和自主發(fā)展能力的培養(yǎng)。

二、建構(gòu)觀下的教學(xué)設(shè)計(jì)（創(chuàng)設(shè)情景，改進(jìn)教學(xué)策略，提高教學(xué)效率）

案例二

題目：N是圓O所在平面上一定點(diǎn)，線段MN中點(diǎn)為P，當(dāng)M在圓O上運(yùn)動時，求點(diǎn)P的軌跡。

教學(xué)過程（節(jié)選其中一個部分）：教師用幾何畫版演示軌跡（創(chuàng)造情景），當(dāng)學(xué)生看清軌跡時，教師讓學(xué)生回答為什么？并引導(dǎo)學(xué)生用幾何方法，借助圓錐曲線統(tǒng)一定義進(jìn)行論證。

當(dāng)學(xué)生完成論證后，教師提出新的問題：

在上面問題中，過點(diǎn)P作MN的垂線，交OM于Q，則當(dāng)M在圓O上運(yùn)動時，問點(diǎn)Q的軌跡是什么圖形。

生：還是圓。

師：是圓嗎，用幾何畫版試一試。（學(xué)生興趣高漲）

生：是橢圓。

師：有不同意見嗎？

生：是雙曲線。

師：還有不同意見嗎？

生：是一個點(diǎn)。

師：把幾種意見總結(jié)一下。

生甲：當(dāng)N點(diǎn)在圓內(nèi)不與O點(diǎn)重合時是橢圓。

生乙：當(dāng)N點(diǎn)在圓外時是雙曲線。

生丙：當(dāng)N點(diǎn)在圓上時是O點(diǎn)。

生丁：當(dāng)N點(diǎn)與O重合時是圓。

師：能證明一下嗎？

學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，進(jìn)行論證。教師引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度進(jìn)行論證。

師：我們不僅要學(xué)會解決問題，還要積累解決問題的經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)解決問題的方法，并運(yùn)用這些經(jīng)驗(yàn)解決新的問題，更重要的是敢于提出問題，善于提出問題。從剛才的探求中可以看出同學(xué)們掌握了基本的探求和論證的思維方法。

點(diǎn)評：我們知道，探求一個點(diǎn)的軌跡，思維的出發(fā)點(diǎn)主要是有兩個，一是找出約束動點(diǎn)變動的幾何條件，二是找出影響動點(diǎn)變動的因素，而這一節(jié)課從一系列的問題的探究中，使學(xué)生明確了探求點(diǎn)的軌跡的途徑，初步理清了解決這類問題的思路，從整體上把握了這類問題的解決方法，看清了問題的本質(zhì)。

反饋記錄

學(xué)生A：今天的課，用幾何畫版直觀的演示，感覺很容易懂，很美妙！

學(xué)生B：想不到，在一次次的探討過程中，能得出這么多的結(jié)論，學(xué)到這么多東西，挺有成就感的！

學(xué)生C：這樣學(xué)起來，又輕松，又容易懂，自己發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，就不易忘記了。

案例二對我們的啟示：

a數(shù)學(xué)發(fā)展史表明，每一個重要的數(shù)學(xué)知識的形成和發(fā)展，都有著豐富的經(jīng)歷。對學(xué)習(xí)者而言，數(shù)學(xué)知識應(yīng)該是一個數(shù)學(xué)化的過程，即通過對常識材料進(jìn)行細(xì)致的觀察和思考，借助分析、比較、綜合、抽象、概括等思維活動，對常識材料進(jìn)行去粗取精、去偽存真的精加工。案例二正是從數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程中進(jìn)行設(shè)計(jì)，學(xué)生的思維不一定真實(shí)地重演了人類對軌跡探索的全過程，但確確實(shí)實(shí)通過實(shí)驗(yàn)、觀察、比較、分析、歸納、抽象、概括等思維活動，在探索中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，從而才使學(xué)生有了對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。

b.雖然學(xué)生要學(xué)的數(shù)學(xué)是歷史上前人已建構(gòu)好的，但對他們而言，仍是全新的、未知的，需要用他們自己的學(xué)習(xí)活動來再現(xiàn)類似的過程。教師的工作是把教學(xué)設(shè)計(jì)成學(xué)生動手操作、觀察猜想、揭示規(guī)律等一系列的過程，側(cè)重于學(xué)生的探索、分析與思考，側(cè)重于過程的探究及在此過程中所形成的一般數(shù)學(xué)能力。

c.教師的地位應(yīng)由主導(dǎo)者轉(zhuǎn)變?yōu)橐龑?dǎo)者。案例二正是在這個思想的指導(dǎo)下，要求教師的教學(xué)思想由“教”轉(zhuǎn)向“學(xué)”，由“教師”轉(zhuǎn)向“學(xué)生”，使教學(xué)活動真正成為學(xué)生的活動。在教學(xué)過程中，把學(xué)習(xí)的主動權(quán)交給學(xué)生，在時間和空間上保證學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生自己獨(dú)立自主地探究學(xué)習(xí)，在教學(xué)方法上，充分注意學(xué)生的差異性，加強(qiáng)課堂調(diào)控，使每一個學(xué)生通過自己的努力，在自己原有的基礎(chǔ)上都有所獲，都有提高，使教學(xué)活動充滿師生交流互動的氣氛。正是基于以上觀點(diǎn)，我較成功地上好了這一節(jié)課，同時學(xué)生在這樣的課堂上得到了原來很難得到的收獲。

三、課堂探究學(xué)習(xí)教學(xué)模式的基本環(huán)節(jié)

a.問題引入。這一階段的教學(xué)目的要求教師向?qū)W生呈現(xiàn)一個令人困惑的問題情境，必須激起學(xué)生強(qiáng)烈的好奇心，本能地產(chǎn)生一種想知道“怎么回事”的沖動。

b.探求背景。這一階段的教學(xué)目的要求教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己已有的知識，查閱資料或動手實(shí)驗(yàn)（動筆檢驗(yàn)或用計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)）去研究探索。

c.結(jié)論的發(fā)現(xiàn)。根據(jù)實(shí)驗(yàn)得出的數(shù)據(jù)，提出假設(shè)與猜想。這一階段要注意充分引導(dǎo)學(xué)生打破傳統(tǒng)的思維模式，大膽想象，勇于質(zhì)疑。

d.結(jié)論的論證。用數(shù)學(xué)邏輯推理的方法，證明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。這一階段要注意引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會邏輯推理，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

e.反思評價(jià)。對探究過程進(jìn)行評價(jià)反思。關(guān)鍵是讓學(xué)生掌握如何從過去的知識經(jīng)驗(yàn)中找到著眼點(diǎn)，找出思考問題的途徑，掌握分析的方法，這個過程實(shí)際上是一個綜合評價(jià)的過程。同時運(yùn)用所學(xué)的方法解決新的問題。

總之，通過案例研究，創(chuàng)設(shè)情景，改進(jìn)教學(xué)策略，較好地優(yōu)化了課堂教學(xué)，培養(yǎng)了學(xué)生探究學(xué)習(xí)的能力，收到了較好的教學(xué)效果，極大地提高了教學(xué)效率。

參考文獻(xiàn)：

篇（3）

中圖分類號：G620 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-2851（2012）01-0137-01

可以說，教學(xué)案例就是關(guān)于某個具體教學(xué)情景的故事，既有故事發(fā)生背景，又有故事發(fā)展情節(jié)。在敘述這個故事的同時，常常還發(fā)表一些自己的看法――點(diǎn)評。所以，一個好的案例，就是一個生動、真實(shí)的故事加上精彩的點(diǎn)評。

一、教學(xué)案例的特點(diǎn)

1.案例與論文的區(qū)別。從文體和表述方式上看，論文是以說理為目的，以議論為主；案例則以記錄為目的，以記敘為主，兼有議論和說明。也就是說，案例是講一個故事，是通過故事說明道理。

從寫作的思路和思維方式來看，論文寫作一般是一種演繹思維，思維的方式是從抽象到具體；案例寫作是一種歸納思維，思維的方式是從具體到抽象。

2.案例與教案、教學(xué)設(shè)計(jì)的區(qū)別。教案和教學(xué)設(shè)計(jì)都是事先設(shè)想的教學(xué)思路，是對準(zhǔn)備實(shí)施的教學(xué)措施的簡要說明；教學(xué)案例則是對已經(jīng)發(fā)生的教學(xué)過程的反映。一個寫在教之前，一個寫在教之后；一個是預(yù)期達(dá)到什么目標(biāo)，一個是結(jié)果達(dá)到什么水平。教學(xué)設(shè)計(jì)不宜于交流，教學(xué)案例適宜于交流。

3.案例與教學(xué)實(shí)錄的區(qū)別。案例與教學(xué)實(shí)錄的體例比較接近，它們都是對教學(xué)情景的描述，但教學(xué)實(shí)錄是有聞必錄，而案例則是有所選擇的，教學(xué)案例是根據(jù)目的和功能選擇內(nèi)容，并且必須有作者的反思（價(jià)值判斷或理性思考）。

4.教學(xué)案例的特點(diǎn)是

――真實(shí)性：案例必須是在課堂教學(xué)中真實(shí)發(fā)生的事件；

――典型性：必須是包括特殊情境和典型案例問題的故事；

――濃縮性：必須多角度地呈現(xiàn)問題，提供足夠的信息；

――啟發(fā)性：必須是經(jīng)過研究，能夠引起討論，提供分析和反思。

二、數(shù)學(xué)案例的結(jié)構(gòu)要素

從文章結(jié)構(gòu)上看，數(shù)學(xué)案例一般包含以下幾個基本的元素。

（1）背景。案例需要向讀者交代故事發(fā)生的有關(guān)情況：時間、地點(diǎn)、人物、事情的起因等。如介紹一堂課，就有必要說明這堂課是在什么背景情況下上的，是一所重點(diǎn)學(xué)校還是普通學(xué)校，是一個重點(diǎn)班級還是普通班級，是有經(jīng)驗(yàn)的優(yōu)秀教師還是年青的新教師執(zhí)教，是經(jīng)過準(zhǔn)備的“公開課”還是平時的“家常課”，等等。背景介紹并不需要面面俱到，重要的是說明故事的發(fā)生是否有什么特別的原因或條件。

（2）主題。案例要有一個主題：寫案例首先要考慮我這個案例想反映什么問題，例如是想說明怎樣轉(zhuǎn)變學(xué)困生，還是強(qiáng)調(diào)怎樣啟發(fā)思維，或者是介紹如何組織小組討論，或是觀察學(xué)生的獨(dú)立學(xué)習(xí)情況，等等?；蛘呤且粋€什么樣的數(shù)學(xué)任務(wù)解決過程和方法，在課程標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)學(xué)任務(wù)認(rèn)知水平的要求怎么樣，在課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)任務(wù)認(rèn)知水平的發(fā)展怎么樣等等。動筆前都要有一個比較明確的想法。比如學(xué)校開展研究性學(xué)習(xí)活動，不同的研究課題、研究小組、研究階段，會面臨不同的問題、情境、經(jīng)歷，都有自己的獨(dú)特性。寫作時應(yīng)該從最有收獲、最有啟發(fā)的角度切入，選擇并確立主題。

（3）情節(jié)。有了主題，寫作時就不會有聞必錄，而要是對原始材料進(jìn)行篩選。首先需要教師對課堂教學(xué)中師生雙方（外顯的和內(nèi)隱的）活動的清晰感知，然后是有針對性地向讀者交代特定的內(nèi)容，把關(guān)鍵性的細(xì)節(jié)寫清楚。比如介紹教師如何指導(dǎo)學(xué)生掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，就要把學(xué)生怎么從“不會”到“會”的轉(zhuǎn)折過程，要把學(xué)習(xí)發(fā)生發(fā)展過程的細(xì)節(jié)寫清楚，要把教師觀察到的學(xué)生學(xué)習(xí)行為，學(xué)習(xí)行為反映的學(xué)生思想、情感、態(tài)度寫清楚，或者把小組合作學(xué)習(xí)的突出情況寫清楚，或者把個別學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)的典型行為寫清楚。不能把“任務(wù)”布置了一番，把“方法”介紹了一番，說到“任務(wù)”的完成過程，說到“掌握”的程度就一筆帶過了。

（4）結(jié)果。一般來說，教案和教學(xué)設(shè)計(jì)只有設(shè)想的措施而沒有實(shí)施的結(jié)果，教學(xué)實(shí)錄通常也只記錄教學(xué)的過程而不介紹教學(xué)的效果；而案例則不僅要說明教學(xué)的思路、描述教學(xué)的過程，還要交代學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，即這種教學(xué)措施的即時效果，包括學(xué)生的反映和教師的感受等。讀者知道了結(jié)果，將有助于加深對整個過程的內(nèi)涵的了解。

（5）反思。對于案例所反映的主題和內(nèi)容，包括教育教學(xué)指導(dǎo)思想、過程、結(jié)果，對其利弊得失，作者要有一定的看法和分析。反思是在記敘基礎(chǔ)上的議論，可以進(jìn)一步揭示事件的意義和價(jià)值。比如同樣是一個學(xué)困生轉(zhuǎn)化的事例，我們可以從社會學(xué)、教育學(xué)、心理學(xué)、學(xué)習(xí)理論等不同的理論角度切入，揭示成功的原因和科學(xué)的規(guī)律。反思不一定是理論闡述，也可以是就事論事、有感而發(fā)，引起人的共鳴，給人以啟發(fā)。

三、初中數(shù)學(xué)教學(xué)案例主題的選擇

篇（4）

二、案例描述

【知識目標(biāo)】 掌握各種旅行社旅游費(fèi)用的計(jì)算和班費(fèi)獎勵費(fèi)用的計(jì)算.

【能力目標(biāo)】1. 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀的能力，通過旅游費(fèi)用的計(jì)算使學(xué)生初步學(xué)會從不同角度分析問題、解決問題.

2.培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維及創(chuàng)新精神.

3. 通過小組合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神，增強(qiáng)學(xué)生的協(xié)作意識.

【情感目標(biāo)】通過旅游中碰到的數(shù)學(xué)問題和獎勵中的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)與人類活動的密切聯(lián)系，提高學(xué)生參加數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的積極性.

【教學(xué)重點(diǎn)】 旅行費(fèi)用和班級獎勵費(fèi)用的計(jì)算是本節(jié)課的重點(diǎn).

【教學(xué)難點(diǎn)】 用數(shù)學(xué)知識從不同角度分析、解決旅游中的問題.

【教學(xué)方法】 討論式學(xué)習(xí)法.

三、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）創(chuàng)設(shè)情境，趣味引入

師：中考結(jié)束成績公布以前，我們班將組織一次旅游，大家說好不好？

生：好！

師：請班委組織同學(xué)為這次旅游做一些準(zhǔn)備.

（設(shè)計(jì)意圖：從同學(xué)們感興趣的話題引入，學(xué)生的興趣立刻被調(diào)動起來.）

（二）班長組織學(xué)生討論問題

1． 選旅游地點(diǎn)

班長：經(jīng)班委會討論協(xié)商，初步擬定了三條路線供同學(xué)們選擇.

（1）班長分別播放了三個地方的精美圖片：上海野生動物園和東方明珠塔，江南名鎮(zhèn)――周莊，蘇州樂園歡樂世界.

（2）大家討論，舉手表決確定旅游地點(diǎn). 討論結(jié)果：蘇州樂園.

2． 選旅行社

班長：班委兵分幾路聯(lián)系了市區(qū)好幾家旅行社，拿到了本市三家旅行社一日游旅游線路及報(bào)價(jià)單，現(xiàn)發(fā)給全班同學(xué)，發(fā)揮大家的聰明才智選出最合適的旅行社.

生：同學(xué)們興趣高漲，紛紛表示愿意.

（三）學(xué)生活動，教師點(diǎn)撥

1. 步驟一：全班同學(xué)分成若干小組，每小組4~5人，發(fā)給每小組旅行社的行程安排和報(bào)價(jià)單，小組討論價(jià)格問題.

中山旅行社報(bào)價(jià)：門票：49元／人（憑學(xué)生證購買門票， 15名學(xué)生免一名帶隊(duì)老師門票）；交通：1600元／輛（45座空調(diào)旅游車，含路橋費(fèi)），1700元／輛（49座空調(diào)旅游車，含路橋費(fèi)）.

江天交通旅行社報(bào)價(jià)：35人以下：100元／人（含門票費(fèi)和車費(fèi)）；35人以上，每增加1人，平均旅游費(fèi)用降低1元.

神州旅行社報(bào)價(jià)：門票：54元／人，九折優(yōu)惠；車費(fèi)：1600元／輛（45座空調(diào)旅游車，含路橋費(fèi)），1700元／輛（49座空調(diào)旅游車，含路橋費(fèi)）.

2. 步驟二：小組匯報(bào)討論結(jié)果并說明理由，計(jì)算過程用數(shù)碼投影演示.

生1 ：我們班有學(xué)生46人，加上班主任李老師共47人，各旅行社價(jià)格計(jì)算如下：

中山旅行社報(bào)價(jià)：門票：49 × 46 ＝ 2254（元）；車費(fèi)：1700元；總費(fèi)用：2254 ＋ 1700 ＝ 3954（元）；人均：3954 ÷ 46 ≈ 86（元）.

江天交通旅行社報(bào)價(jià)：人均：100 － （47 － 35） ≈ 88（元）.

神州旅行社報(bào)價(jià)：門票：54 × 0．9 × 47 ≈ 2284（元）；車費(fèi)：1700元；總費(fèi)用：2284 ＋ 1700 ≈ 3984（元）；人均：3984 ÷ 47 ≈ 85（元）.

通過計(jì)算比較，神州旅行社的人均費(fèi)用最低，所以我們小組決定選神州旅行社.

生2：我們認(rèn)為應(yīng)該選中山旅行社，因?yàn)橹猩铰眯猩绫M管人均價(jià)貴了1元錢，但可以免費(fèi)帶三名教師.

生3：我們認(rèn)為不應(yīng)只考慮費(fèi)用，還應(yīng)該考慮游玩景點(diǎn)的多少和旅行社的服務(wù)質(zhì)量問題.

師：同學(xué)們答得非常好！那我們該選哪家呢？

經(jīng)討論后學(xué)生一致選中山旅行社.

（設(shè)計(jì)意圖：這兩個環(huán)節(jié)主要是讓全班學(xué)生充分活動，利用班委向旅行社做的調(diào)查報(bào)表，通過大家討論，既真實(shí)又新鮮，激起學(xué)生的興趣和探求知識的熱情.）

（四）班費(fèi)獎勵，再掀

師：目前我們班班費(fèi)還剩1000元，我準(zhǔn)備獎勵給班上品學(xué)兼優(yōu)的學(xué)生，作為這次旅游費(fèi)用的一次性補(bǔ)貼，我初步擬定了一個獎勵規(guī)則：

以學(xué)期班級常規(guī)考核總分為依據(jù)，總分在85分以上的同學(xué)，將給予旅游補(bǔ)貼獎勵. 若達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)的人數(shù)不超過3人，每人獎勵90元；若超過3人，則按平均每增加1人，人均降低6元獎勵. 請同學(xué)們幫忙算算：（1）最多可獎勵多少人？（2）最多需要班費(fèi)多少錢？

學(xué)生活動：小組討論計(jì)算并交流.（學(xué)生用數(shù)碼投影展示計(jì)算結(jié)果并向全班同學(xué)作講解）

教師活動：對有問題的小組進(jìn)行點(diǎn)撥和指導(dǎo). 最后幻燈片顯示下面完整的解答過程.

解：設(shè)增加的人數(shù)為x人.

（1）90 － 6x ＞ 0，解得x ＜ 15，

x取14， 最多可獎勵14 ＋ 3 ＝ 17（人）.

（2）設(shè)增加的人數(shù)為x人，需要的班費(fèi)為y元，由題意，

y ＝ （x ＋ 3）（90 － 6x） ＝ 6（－x2 ＋ 12x ＋ 45） ＝ －6（x2 － 12x ＋ 36 － 36 － 45） ＝ －6（x － 6）2 ＋ 486.

最多需要準(zhǔn)備486元班費(fèi)，此時獎勵的人數(shù)為6人.

師：如果班上85分以上的同學(xué)超過17人，我還想多獎勵些班費(fèi)，怎么獎勵呢？

生：修改獎勵細(xì)則.

修改細(xì)則：若達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)的人數(shù)不超過4人，每人獎勵90元；若超過4人，則按平均每增加1人，人均降低3元獎勵. 請問：（1）最多可獎勵多少人？（2）我們班現(xiàn)有班費(fèi)1000元，按這樣的規(guī)則夠不夠獎勵？

學(xué)生活動：請同學(xué)們自行解答，兩同學(xué)上黑板板演計(jì)算過程.

參考答案如下：

解：設(shè)增加的人數(shù)為x人.

（1）90 － 3x ＞ 0，解得x ＜ 30.

x取29，最多可獎勵29 ＋ 4 ＝ 33（人）.

（2）設(shè)增加的人數(shù)為x人，需要的班費(fèi)為y元，由題意，

y ＝ （x ＋ 4）（90 － 3x） ＝ 3（－x2 ＋ 26x ＋ 120） ＝ －3（x － 13）2 ＋ 867.

最多需要準(zhǔn)備867元班費(fèi)，1000元夠獎勵了.

師：現(xiàn)在每個人都知道自己應(yīng)交的旅游費(fèi)了吧，希望同學(xué)們平時好好表現(xiàn)，爭取品學(xué)兼優(yōu)，能拿到我們的獎勵.

（設(shè)計(jì)意圖：這一環(huán)節(jié)主要是通過學(xué)生合作交流、討論的方式，攻關(guān)本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn). 讓學(xué)生作為主角給學(xué)生講解，學(xué)生間互相查漏補(bǔ)缺，學(xué)生容易接受，印象也深刻. ）

（五）暢所欲言，完善旅游程序

師：如果我們收齊了全班的旅游費(fèi)后，下一步該做什么？

生：與旅行社簽訂旅游合同.

師：簽訂合同時有哪些要注意的嗎？付款時有哪些要注意的呢？

學(xué)生活動：暢所欲言，請班長做必要的筆記.

師：同學(xué)們互相提醒一下旅行前我們還要準(zhǔn)備些什么？

學(xué)生活動：暢所欲言，請班長做必要的筆記.

（設(shè)計(jì)意圖：這部分要求同學(xué)們暢所欲言，對說得好的給予表揚(yáng)，讓班長做筆記，這樣設(shè)計(jì)既考慮啟發(fā)學(xué)生旅游的一般程序，又是課堂氣氛的一種調(diào)控，也是對同學(xué)們的肯定，有助于樹立學(xué)生的自信心、成就感，學(xué)生的辦事能力也得到了鍛煉.）

（六）作業(yè)布置

教師活動：播放一組旅游徽標(biāo)的圖案配上寓意說明供同學(xué)們欣賞.

師：看了這組圖形優(yōu)美又賦予意義的徽標(biāo)后，同學(xué)們是不是也想試一試我們的能力呢？課后請同學(xué)們?yōu)槲覀兙牛?）旅游團(tuán)設(shè)計(jì)一下去蘇州樂園的團(tuán)旗吧！我們將擇優(yōu)錄用哦！

（設(shè)計(jì)意圖：通過旅游徽標(biāo)的欣賞，激發(fā)同學(xué)們的創(chuàng)造熱情，開發(fā)學(xué)生的智力，使本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容得到了升華. ）

（七）本課小結(jié)

同學(xué)們通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你們有哪些收獲？還有什么困惑？學(xué)生們暢所欲言.

四、教學(xué)反思

這堂課是以學(xué)生探究為主的一堂新授課.

篇（5）

我國重視教學(xué)改革問題，提倡培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)。對于高中的數(shù)學(xué)學(xué)科來說，想要提高教學(xué)的有效性，就需要將理論與實(shí)踐結(jié)合起來，結(jié)合典型的例題，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)公式和知識的應(yīng)用能力，這就需要高中數(shù)學(xué)教師認(rèn)真分析，明確當(dāng)前教學(xué)案例設(shè)計(jì)存在的問題，有針對性地進(jìn)行解決。

一、當(dāng)前我國整體高中數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)案例還存在一些問題

首先，案例的內(nèi)容落后，已經(jīng)不適合再作為典型例題來講解，而且大部分的數(shù)學(xué)教師依賴所謂的“名家老師”，學(xué)習(xí)他們的方法，照搬照抄案例的內(nèi)容與講解的方式，導(dǎo)致很多內(nèi)容不符合本地區(qū)教學(xué)的實(shí)際情況；其次，當(dāng)前數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)案例形式過于單一，很多老師不愿意在這個方面花費(fèi)時間，而且也沒有相應(yīng)的能力做好案例的設(shè)計(jì)工作；最后，高中校長沒有做好教學(xué)案例的評價(jià)工作，導(dǎo)致相應(yīng)的工作停滯不前，而且數(shù)學(xué)教師運(yùn)用多媒體的能力也不強(qiáng)，導(dǎo)致學(xué)科的教學(xué)效果不高[1]。

二、做好高中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)案例的設(shè)計(jì)有重要的現(xiàn)實(shí)意義

一方面，高中數(shù)學(xué)教師做好教學(xué)案例的設(shè)計(jì)工作，可以有效提高自身的專業(yè)能力和綜合素質(zhì)。因?yàn)樵谠O(shè)計(jì)的時候，需要在網(wǎng)絡(luò)上和書籍中查詢資料，鉆研如何進(jìn)行實(shí)際的講解，這就會提高教師的教學(xué)實(shí)踐能力，在課堂上保證學(xué)生的參與度。另一方面，認(rèn)真設(shè)計(jì)教學(xué)案例的內(nèi)容，數(shù)學(xué)教師可以將數(shù)學(xué)知識進(jìn)行轉(zhuǎn)換，用更直觀的形式講解出來，使內(nèi)容更便于高中生理解和應(yīng)用，讓他們在日后的學(xué)習(xí)和工作中，有效地應(yīng)用，培養(yǎng)他們的實(shí)踐能力。

三、關(guān)于高中數(shù)學(xué)學(xué)科提高設(shè)計(jì)教學(xué)案例水平的幾點(diǎn)思考

1.高中數(shù)學(xué)教師根據(jù)本學(xué)科的教學(xué)目標(biāo)，整合學(xué)科的知識

首先，高中教師要做好學(xué)科的研究，明確學(xué)科的教學(xué)目標(biāo)，這樣才能保證設(shè)計(jì)的案例內(nèi)容既具有時代性，又符合教學(xué)改革的要求；其次，數(shù)學(xué)教師整合學(xué)科的知識，將需要運(yùn)用案例的知識總結(jié)出來，便于有針對性地設(shè)計(jì)案例；最后，高中數(shù)學(xué)教師要提高自身的專業(yè)能力，不能照搬照抄網(wǎng)絡(luò)上的資源，要根據(jù)班級的實(shí)際情況，思考選用哪一種案例，如何將案例引出[2]。

2.注意學(xué)生的能動性，合理設(shè)計(jì)案例的內(nèi)容

一方面，做好上一c內(nèi)容之后，高中教師就需要進(jìn)行實(shí)際的設(shè)計(jì)工作，遵循尊重學(xué)生能動性的原則，避免“A或B”選擇教學(xué)方式，設(shè)計(jì)開放性的案例內(nèi)容，提高學(xué)生的思維活躍度，讓他們積極參與到課堂中，保證教學(xué)的效果；另一方面，分析教學(xué)案例的構(gòu)成要素，為實(shí)際的教學(xué)應(yīng)用做好準(zhǔn)備，這些要素主要包括教學(xué)情境的選擇、案例教學(xué)的目標(biāo)、講解的過程設(shè)想、實(shí)際講解的效果和總結(jié)不足，使設(shè)計(jì)的教學(xué)案例具有完備性，這就需要教師認(rèn)真分析案例設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)，根據(jù)不同的內(nèi)容選擇合適的結(jié)構(gòu)。如講解判斷直線與平面平行的內(nèi)容時，在設(shè)計(jì)案例的時候，需要運(yùn)用實(shí)際生活中的例子，并且采用循環(huán)結(jié)構(gòu)，復(fù)習(xí)之前學(xué)過的平行的概念，然后講解直線與平面之間的平行關(guān)系，設(shè)計(jì)學(xué)生自我學(xué)習(xí)的板塊，完成提高學(xué)生實(shí)踐能力的教學(xué)目標(biāo)；而且要做好教學(xué)的總結(jié)，在講解之后，對本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，找到不足，便于日后改進(jìn)。

3.高中數(shù)學(xué)教師提高應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)教學(xué)資源的能力，保證應(yīng)用案例的效果

高中教師提高自身應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)教學(xué)資源的能力，及時在網(wǎng)絡(luò)上找到可以借鑒的內(nèi)容，既保證案例內(nèi)容符合學(xué)生的興趣，也可以在瀏覽的過程中，擴(kuò)大自身知識的掌握范圍。另外，數(shù)學(xué)教師在應(yīng)用案例之前，還要在數(shù)學(xué)教研組中進(jìn)行探討，綜合組內(nèi)各位數(shù)學(xué)教師的意見，對設(shè)計(jì)的案例進(jìn)行改進(jìn)，保證應(yīng)用案例的效果。

總之，高中數(shù)學(xué)教師提高設(shè)計(jì)和應(yīng)用教學(xué)案例的能力，對提高教學(xué)的效果和培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力都有正面的影響，高中校長和數(shù)學(xué)教師需要重點(diǎn)研究。除了文中提到的內(nèi)容，設(shè)立數(shù)學(xué)教育專業(yè)的學(xué)校還要提高教學(xué)的水平，培養(yǎng)學(xué)生對教學(xué)案例的理解和設(shè)計(jì)的能力，為我國高中數(shù)學(xué)學(xué)科做好人才儲備。

參考文獻(xiàn)：

篇（6）

學(xué)生被分為6人一小組，每人手上有6根小棒。

A教學(xué)：

師：大家手上都有6根小棒。平均分成三份，每份是多少呢？

生動手操作。

師：好！把剛才操作的過程在小組中交流一下。

B教學(xué)：

師：大家手上都有一些小棒，試著按要求進(jìn)行平均分操作。要求是：平均分成1份，2份，3份，4份，5份，6份，并且不能損壞小棒。看那組最迅速。

學(xué)生開始分。有的很快地分好，有的開始小聲議論。

師：有困難嗎？

生1：平均分成4份不好分。

生2：平均分成5份也不好分。

師：是??！有的多，有的少，不是平均分。最好怎么辦呢？

（生……）

師：好！同組內(nèi)的小棒可以相互借調(diào)。再試試看。

（生活動。）

師：哪個小組愿意來交流一下，你們的4份是怎么平均分的？

分析：學(xué)生是由于需要而主動地合作交流，還是被老師安排去合作交流，兩種心態(tài)會產(chǎn)生不同的效果。我感覺讓問題更具有思考性和探索性才能激發(fā)學(xué)生合作交流的積極主動性。數(shù)學(xué)教學(xué)中的合作交流不能等同于日常隨意性的談話，它應(yīng)具有一定的學(xué)習(xí)目標(biāo)的指向性，是為解決某個具體的問題而進(jìn)行的合作與交流。因此，教學(xué)中要不斷地讓學(xué)生產(chǎn)生思維的困惑，讓他們在思維的壓力下，主動地想到與別人的合作與交流。案例教學(xué)中，把6根小棒平均分成3份，只有1種分法，讓他們交流什么呢？只會不斷地重復(fù)。而要把6根小棒平均分成4份、5份，卻是個傷腦筋的事。老師建議重新調(diào)劑，怎樣調(diào)劑呢？小組成員之間必然要交流和合作。特別是平均分成4份，需要另一個人全部拿出，或者有4人拿出一根，剩下一位同學(xué)拿出2根，其間的討論一定會熱烈。“方便別人，也就方便了自己”，在這里不是很好地得到了體現(xiàn)嗎？！

案例2：《角的初步認(rèn)識》教學(xué)片段

A教學(xué)：

師：同學(xué)們，大家知道，這是什么圖形嗎？

生：是角。

師：真好！在生活中哪些地方有角呢？

生：……

B教學(xué)：

師：同學(xué)們，咱們今天一起研究角的有關(guān)知識。我知道，幾天前，每個小組都進(jìn)行了有關(guān)角的資料的收集，并進(jìn)行了一定的整理?，F(xiàn)在用你們喜愛的方式來交流一下，好嗎？

各個小組代表開始交流。

分析：一節(jié)課中究竟安排幾次小組學(xué)習(xí)為宜呢？我們經(jīng)常這樣討論著。細(xì)細(xì)分析這種討論，它其實(shí)是把合作交流局限在教學(xué)環(huán)節(jié)之上。試想，一節(jié)課都讓學(xué)生在小組內(nèi)合作交流，又有何妨呢？下節(jié)課再整理歸納就是了！打破知識的分割，建立一種大的課程觀和教學(xué)觀，我們完全可以在課堂內(nèi)探索更大時空的合作與交流。同時，合作交流不能僅僅限于課內(nèi)，學(xué)習(xí)小組不能是課內(nèi)象集體，課外如“散兵”。課外的合作交流，更能發(fā)揮學(xué)生的積極性，更能調(diào)動他們的集體榮譽(yù)感。讓我們從整體著眼，從形成氛圍和培養(yǎng)習(xí)慣入手，積極地將學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程變成一種師生不斷“對話”與“協(xié)作”的過程，讓合作交流的學(xué)習(xí)方式發(fā)揮出它更大的效應(yīng)。

案例3：《退位減法》復(fù)習(xí)課

一位教師上“退位減法”的復(fù)習(xí)課時，創(chuàng)設(shè)了這樣的情景，讓人體會頗深。

（1）直接出示了6道題目，其中2道退位題。請你看一看，你能不能一眼就看出哪些是退位的，哪些不是退位的。（培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)較為敏感的知覺能力就在這樣簡短的問話里得以深刻體現(xiàn)。）

（2）動筆做，互相檢查。我們也來開個兒童醫(yī)院，請你們把最容易得病的算式拿上來，我們一起來會診，最后請學(xué)生們給得病的算式開個小處方。在這里老師提了個要求：請你用一句話來告訴病人應(yīng)該注意什么。（改錯題的呈現(xiàn)方式有很多，這里用的是“治病情境”。老師沒有停留在熱鬧的場景中，而是專注于讓學(xué)生總結(jié)錯誤的原因和改錯的方法。

（3）自己出一道退位減法題給同桌做。

（4）老師出題：3000―（ ）；再請每人寫一道題。

……

分析：情境只有為教學(xué)服務(wù)、適合學(xué)生需要的時候才能叫做好情境，不能為教學(xué)服務(wù)的情境就是多余的。

1.創(chuàng)設(shè)的情境要充分考慮學(xué)生已有的知識和相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)

在創(chuàng)設(shè)的情境時，教師要充分考慮學(xué)生已有的知識和相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)，要了解學(xué)生已經(jīng)掌握了什么，掌握的程度如何，他們生活在什么樣的環(huán)境中，有什么樣的生活經(jīng)歷，接觸過什么事情等等。一個真實(shí)、源于學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平的教學(xué)情境，往往有利于調(diào)動學(xué)生的積極性，激發(fā)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。

2.創(chuàng)設(shè)的情境要從教學(xué)目標(biāo)出發(fā)，不能脫離學(xué)科因素

情境的創(chuàng)設(shè)要緊密圍繞教學(xué)，服務(wù)于課程標(biāo)準(zhǔn)三個維度的要求。這要求教師一方面要從生活情境中及時提煉教學(xué)問題，切忌在情境中“流連往返”；另一方面不能“淺嘗輒止”，把情境的創(chuàng)設(shè)作為課堂教學(xué)的“擺設(shè)”。

篇（7）

二、學(xué)法分析

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，是師生之間、生生之間交往互動與共同發(fā)展的過程；動手實(shí)踐，自主探索，合作交流是孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式；合作交流的學(xué)習(xí)形式是培養(yǎng)孩子積極參與、自主學(xué)習(xí)的有效途徑。本節(jié)課將以學(xué)生看得到、感受得到的基本素材創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生活動，并在活動中激發(fā)學(xué)生認(rèn)真思考、積極探索，主動獲取數(shù)學(xué)知識，從而促進(jìn)學(xué)生研究性學(xué)習(xí)方式的形成，培養(yǎng)學(xué)生合作性學(xué)習(xí)精神。主要采用動手實(shí)踐，自主探索與合作交流的學(xué)習(xí)方法，使學(xué)生積極參與教學(xué)過程，在教學(xué)過程展開思維，培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題的能力，進(jìn)一步理解觀察、類比、分析等數(shù)學(xué)思想方法。

三、教學(xué)目標(biāo)

1、知識與技能：掌握三角形相似的判定，能應(yīng)用判定解決相關(guān)問題。

2、數(shù)學(xué)思考：在三角形相似的條件的探究過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察比較、聯(lián)想、分析、歸納、猜想、概括的全過程。

3、解決問題：通過探究三角形相似的條件，使學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，以及建模能力、創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神。

4、情感態(tài)度與價(jià)值觀：　在探究活動中，讓學(xué)生獲得親自參與研究的情感體驗(yàn)，從而增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和團(tuán)結(jié)合作、勇于探索、鍥而不舍的精神。

四、教學(xué)重、難點(diǎn)

1、重點(diǎn)：對三角形相似的條件判定的掌握與應(yīng)用。

2、難點(diǎn)：對三角形相似的條件1的探究。

五、教學(xué)過程

（一）動手探索

1.全等三角形的判定方法？判定相似三角形要不要這么多條件呢？假如當(dāng)條件只有角這個元素時，能不能判定兩個三角形相似呢？

2.若有一個角對應(yīng)相等，能否判定兩個三角形相似？

結(jié)論：只有一個角對應(yīng)相等，不能判定兩個三角形相似。

3.若有兩個角對應(yīng)相等，能否判定兩個三角形相似？

課后思考?。喝鬌E與BC不平行，它們還可能相似嗎？說明理由。

（三）隨堂練習(xí)：

讓學(xué)生暢談自己的感受和體會，老師總結(jié)與歸納

六、教學(xué)反思

數(shù)學(xué)課要注重引導(dǎo)學(xué)生探索與獲取知識的過程而不單注重學(xué)生對知識內(nèi)容的認(rèn)識，因?yàn)椤斑^程”不僅能引導(dǎo)學(xué)生更好地理解知識，還能夠引導(dǎo)學(xué)生在活動中思考，更好地感受知識的價(jià)值，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的意識；感受生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，獲得“情感、態(tài)度、價(jià)值觀”方面的體驗(yàn)。

（1）關(guān)注課堂，走近學(xué)生

教師在授課時，不能照本宣科，每個學(xué)生的家庭背景、生活經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)思維方式各不相同，要深入了解學(xué)生，細(xì)致入微地觀察學(xué)生的內(nèi)在思想和學(xué)習(xí)中可能出現(xiàn)的問題和困難。面對有思想的學(xué)生，教師要隨機(jī)應(yīng)變，及時調(diào)整教學(xué)設(shè)計(jì)方案及教學(xué)思路，教師不能以我對知識的理解方式來作為學(xué)生接受的理由，不能忽視學(xué)生對新知識也有一個分析、理解和吸收的學(xué)習(xí)過程。教師只有將學(xué)生已有的知識、經(jīng)驗(yàn)作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，教學(xué)才能做到以人的發(fā)展為本。

（2）關(guān)注學(xué)法，重學(xué)習(xí)過程

新課程提倡在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，引導(dǎo)學(xué)生自己去探究，通過學(xué)生的親身實(shí)踐獲得體驗(yàn)，讓學(xué)生逐步形成善于質(zhì)疑、樂于探究、努力求知的積極態(tài)度。數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，是師生之間、生生之間交往互動及共同的發(fā)展。引導(dǎo)學(xué)生有效進(jìn)行探究、交流、總結(jié)等，形成有效的信息通道相，掌握感悟相應(yīng)的方法和經(jīng)驗(yàn)，營造一個學(xué)生樂于探索交流和相互學(xué)習(xí)的良好氛圍。

篇（8）

最近幾年，一直留心面授課的到課人數(shù)，規(guī)律卻是非常明顯。除開學(xué)和結(jié)束復(fù)習(xí)，一般到課人數(shù)是班級總?cè)藬?shù)的百分之三十。雖然面授課往往采用單元化教學(xué)，而且教學(xué)內(nèi)容也作模塊化處理，但是數(shù)學(xué)課的系統(tǒng)性強(qiáng)于其他課程，在職的學(xué)員有時候會因?yàn)楣ぷ鞑荒馨磿r參加面授課的學(xué)習(xí)，聽課的不連貫給后續(xù)學(xué)習(xí)造成極大的困難。尤其在天氣突變的月份，看著班級里稀稀拉拉的十多個學(xué)員，心里就會犯嘀咕，這課到底要怎么上？

2.困難重重的網(wǎng)上學(xué)習(xí)

開放教育的學(xué)習(xí)以自主學(xué)習(xí)為主，輔以一定的面授輔導(dǎo)，學(xué)習(xí)具有極大的自由度。網(wǎng)上學(xué)習(xí)因此成為教學(xué)設(shè)計(jì)中最最重要的一個環(huán)節(jié)。在實(shí)際中，這個環(huán)節(jié)實(shí)施情況如何呢？每次課程開始時，向?qū)W員介紹學(xué)習(xí)方法。其中重點(diǎn)是如何IP課件和網(wǎng)絡(luò)課程，如何在BBS中發(fā)帖提問。但教學(xué)過程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)員的學(xué)習(xí)仍以面授輔導(dǎo)為主，所提問題都是課堂教學(xué)中的練習(xí)。難道沒有人看IP課件嗎？不充分利用豈不可惜。做過多次訪談后發(fā)現(xiàn)觀看人數(shù)很少，而且不能堅(jiān)持。看過的學(xué)員告訴我，他把一段視頻看了三遍，最大的困難是來不及反應(yīng)，跟不上老師的節(jié)奏；在做練習(xí)的時候還是不大會。BBS的發(fā)言對數(shù)學(xué)課程也是一大難點(diǎn)，因?yàn)锽BS只支持文字，不能輸入數(shù)學(xué)的符號、公式，通常是先做WORD文檔，然后作為帖子的附件。怎么才能問問題？我給學(xué)員的辦法是：書上的問題，寫清頁碼和題號；其他問題不會的就用手機(jī)拍攝下來，然后以附件的形式發(fā)帖。雖然有些麻煩，但相比使用公式編輯器要方便許多。實(shí)踐下來，學(xué)員還是很樂意用這個方法。

3.形同虛設(shè)的學(xué)習(xí)小組

每個學(xué)期都會對教學(xué)班的學(xué)員分成若干個學(xué)習(xí)小組，每組人數(shù)控制在15人以下并且確定組長。但是直到學(xué)期結(jié)束，也不見小組學(xué)員的活動。學(xué)員的居住地比較分散，工作時間不一致，每個小組都有些學(xué)員只在考試時才會見到，這個學(xué)習(xí)小組怎么活動？

4.理想中的核心學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì)

現(xiàn)在只是一種設(shè)想，但總是組建不起來。每個教學(xué)班都會有部分學(xué)員數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較扎實(shí)，時間比較寬松，尤其是有強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)欲望。如果能夠把這些學(xué)員發(fā)掘出來，組建成核心學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì)，他們將成為輔導(dǎo)教師的左膀右臂，在整個學(xué)習(xí)過程中能發(fā)揮出意想不到的潛能。他們可以向同學(xué)推介學(xué)習(xí)方法和課程資源，傳遞學(xué)習(xí)資料，代替輔導(dǎo)教師實(shí)時解答學(xué)員的問題，帶動周圍一批學(xué)習(xí)上有困難的學(xué)員共同學(xué)習(xí)進(jìn)步。如果能夠達(dá)到設(shè)想的效果，這個學(xué)員的核心學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì)將成為教學(xué)班的主心骨。

二、案例評析

遠(yuǎn)程開放教育面對的學(xué)習(xí)對象的顯著特點(diǎn)是：在職比例高，專業(yè)背景復(fù)雜，需求多元化，學(xué)科基礎(chǔ)較差，年齡層次跨度大。輔導(dǎo)教師在開展教學(xué)時必須充分考慮具體的學(xué)習(xí)者，充分利用各種有效資源，在教學(xué)手段上也應(yīng)該嘗試創(chuàng)新，使之能積極有效地調(diào)動學(xué)員的主觀能動性，以適應(yīng)成人的學(xué)習(xí)特點(diǎn)。

1.必須要有分層教學(xué)的意識

分層教學(xué)符合由低級到高級、由表及里、由淺入深、由具體到抽象、由感性到理性的循序漸進(jìn)的認(rèn)識規(guī)律，針對學(xué)生的水平及能力的差異，向不同層次的學(xué)生進(jìn)行分層教學(xué)，體現(xiàn)了因材施教的原則，符合教學(xué)的可接受原理，讓學(xué)生都在“最近發(fā)展區(qū)”得到不同程度的發(fā)展。針對學(xué)生差異懸殊的實(shí)際情況，輔導(dǎo)教師在教學(xué)方法的選擇運(yùn)用上，應(yīng)在確保完成教學(xué)目標(biāo)的前提下兼顧學(xué)生的個體需求，實(shí)施分層教學(xué)，使學(xué)員同步提高，共同發(fā)展，分層達(dá)標(biāo)。在確定導(dǎo)學(xué)目標(biāo)時要兼顧多種不同層次的學(xué)生，以適合不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。面授輔導(dǎo)中要減緩梯度，講授學(xué)科知識以必需、夠用為度；要采用多種策略降低或減緩學(xué)習(xí)難度；創(chuàng)建簡單新方法，如分部積分中的列表算法。

2.強(qiáng)化學(xué)導(dǎo)互動，循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)員自主學(xué)習(xí)的能力

在遠(yuǎn)程教育中，輔導(dǎo)教師除面授教學(xué)外，更多的是擔(dān)當(dāng)學(xué)員學(xué)習(xí)的引領(lǐng)者的角色。強(qiáng)化學(xué)導(dǎo)互動應(yīng)當(dāng)是輔導(dǎo)教師的一項(xiàng)重要工作。通過互動，創(chuàng)造一個令學(xué)員身臨其境的教學(xué)氛圍，激發(fā)學(xué)員的學(xué)習(xí)興趣，闡明學(xué)員在學(xué)習(xí)中應(yīng)注意的問題，有效拉近教與學(xué)的距離。學(xué)導(dǎo)互動包括：人人互動、人本互動、人機(jī)互動。強(qiáng)化學(xué)導(dǎo)互動，可以使學(xué)員在艱苦的學(xué)習(xí)中逐步提高興趣，掌握學(xué)習(xí)規(guī)律和方法，提升學(xué)習(xí)能力，有效提高學(xué)習(xí)效果。培養(yǎng)學(xué)習(xí)者的自主學(xué)習(xí)能力也是遠(yuǎn)程教育的一個目標(biāo)。強(qiáng)化學(xué)導(dǎo)互動，體現(xiàn)了教學(xué)者對學(xué)習(xí)者自主學(xué)習(xí)的持續(xù)關(guān)注；而有針對性的教學(xué)設(shè)計(jì)，能夠幫助學(xué)員建立自主學(xué)習(xí)的信心。輔導(dǎo)教師要設(shè)法通過多種途徑，引導(dǎo)學(xué)生開展自主學(xué)習(xí)，循序漸進(jìn)，從而達(dá)到提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的目的。

3.適當(dāng)改變授課方式，吸引學(xué)生到課

學(xué)員對面授課的重視程度是影響學(xué)員學(xué)習(xí)效果的一個重要因素。輔導(dǎo)教師應(yīng)該適時改變授課方式，做到重點(diǎn)難點(diǎn)精講并且加強(qiáng)教學(xué)互動，使學(xué)員在相互促進(jìn)的情況下盡可能學(xué)到更多的知識。對于合適的內(nèi)容可以結(jié)合實(shí)際問題進(jìn)行案例式教學(xué)，更加通俗易懂，學(xué)員更容易深刻地理解和掌握所學(xué)知識，使學(xué)員認(rèn)識到課程的實(shí)用性，感覺到不來上課是一種遺憾。同時可以借助課件，直觀地展示教學(xué)內(nèi)容，形成較強(qiáng)的視覺沖擊力，學(xué)生學(xué)習(xí)后記憶時間較為長久，不容易遺忘。開放教育的輔導(dǎo)教師，不應(yīng)僅僅具備IQ，更要有EQ。從某種意義上講，情商甚至比智商更重要。多媒體教學(xué)對激發(fā)學(xué)員學(xué)習(xí)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的興趣也有一定的作用效果，多媒體教學(xué)比較符合成人理解能力強(qiáng)、記憶能力差，短時突擊功利性強(qiáng)、長時探索意志性差的特點(diǎn)，以及缺少大段學(xué)習(xí)時間的情況，在面授輔導(dǎo)及網(wǎng)上學(xué)習(xí)中可以配合使用。

4.實(shí)踐教學(xué)活動

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的實(shí)踐教學(xué)活動是指課內(nèi)練習(xí)和課外實(shí)踐。課內(nèi)練習(xí)是適量的作業(yè)練習(xí)及解題分析，促進(jìn)學(xué)員掌握解題方法，熟悉一些基本概念、性質(zhì)、定理等。課外實(shí)踐則是將理論與實(shí)踐相結(jié)合，可以安排在網(wǎng)上的課程論壇里進(jìn)行。輔導(dǎo)教師不妨設(shè)計(jì)一些引導(dǎo)大家討論的內(nèi)容或者是本學(xué)科現(xiàn)實(shí)的一些熱點(diǎn)話題，學(xué)員在輔導(dǎo)教師的引領(lǐng)下，尋找課本與現(xiàn)實(shí)生活中的“數(shù)量關(guān)系”，達(dá)到學(xué)以致用，形成從實(shí)際問題中來，到實(shí)際問題中去的教育模式。通過這樣的方法，使所學(xué)內(nèi)容形象化、生動化，更具親和力，更適合學(xué)員的整體發(fā)展。通過實(shí)踐教學(xué)，在教給學(xué)員一些數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上培養(yǎng)了學(xué)員的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)素質(zhì)和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)工具的能力。

篇（9）

（二）課堂討論

在案例教學(xué)模式中，課堂討論是最為關(guān)鍵的一個步驟，也是學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的過程。在具體的操作過程中，課堂討論分為兩個階段：小組討論和全班討論。第一，小組討論。教師首先依據(jù)學(xué)生的性格和知識水平等對他們進(jìn)行分組，每組的人數(shù)以4至5人為宜，然后讓各組進(jìn)行熱烈討論。在小組討論的過程中，并不是讓學(xué)生針對一些問題找出答案，而是讓學(xué)生通過討論加深對案例材料的理解，為進(jìn)一步的討論和學(xué)習(xí)做好鋪墊，在這個過程中，教師不宜對學(xué)生的討論進(jìn)行過多干預(yù)。第二，全班討論。全班討論是小組討論的深入發(fā)展，在這個過程中，教師要充分發(fā)揮指導(dǎo)作用，一方面控制整個討論局面，另一方面引導(dǎo)學(xué)生在討論中解決問題。在全班討論開始時，教師先讓一些學(xué)生進(jìn)行自由發(fā)言，然后由其他同學(xué)對其提出的觀點(diǎn)進(jìn)行反駁和辯護(hù)。比如，在上文我們提到的案例中，學(xué)生A發(fā)言“依據(jù)圓柱的定義，我們教室使用的電棒也是圓柱體?！睂τ谒倪@種說法，其他學(xué)生就可以以此為引線，對圓柱的相關(guān)問題展開激烈的討論。這樣，學(xué)生就在討論中掌握了圓柱的相關(guān)知識。如果在討論中，學(xué)生偏離了主題或者討論無法繼續(xù)時，教師可以適當(dāng)引導(dǎo)。

（三）教師總結(jié)評價(jià)

在課堂討論之后，教師的總結(jié)評價(jià)也非常重要。一方面，教師的總結(jié)不僅是對這節(jié)課知識的概括，而且還對學(xué)生討論中遇到的一些難題進(jìn)行了解答，有利于學(xué)生對新知識有一個全面的了解和掌握。另一方面，在評價(jià)中，教師對學(xué)生進(jìn)行鼓勵，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有利于數(shù)學(xué)教學(xué)工作的順利開展。

篇（10）

教師在教學(xué)過程中，對數(shù)學(xué)知識的呈現(xiàn)方式存在差異，這種差異對學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識也許影響不大，但對學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動的影響，卻可能有很大的差別。

2教學(xué)內(nèi)容說明

向量是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的重要數(shù)學(xué)模型，力、速度、位移等都是向量的實(shí)際背景，可以用向量加以刻畫和描述。用什么樣的數(shù)學(xué)模型來刻畫位移、速度、力這樣的量？這個數(shù)學(xué)模型有什么性質(zhì)與應(yīng)用？這就是《平面向量》的中心問題，也是本章的知識學(xué)習(xí)的固著點(diǎn)。

向量的數(shù)量積是在向量的線性運(yùn)算基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的一種新的運(yùn)算，向量的線性運(yùn)算是封閉性運(yùn)算，而向量的數(shù)量積運(yùn)算是非封閉性運(yùn)算，運(yùn)算的對象是二元的，而運(yùn)算的結(jié)果又是一元的，這種運(yùn)算的非封閉性對學(xué)生的認(rèn)知造成了很大的失衡。

3教學(xué)案例分析

筆者近期聽了兩堂關(guān)于“平面向量的數(shù)量積”的課，兩位老師的教學(xué)過程都分為五個環(huán)節(jié)：問題情境――抽象模型――辨析模型（內(nèi)涵、外延）――模型性質(zhì)（運(yùn)算律）――數(shù)學(xué)應(yīng)用，兩位老師都是以“問題”的形式來推動教學(xué)過程。

本文結(jié)合其中的環(huán)節(jié)一和環(huán)節(jié)四，來探究在教學(xué)中如何實(shí)現(xiàn)教學(xué)生“學(xué)會思考”。

3.1環(huán)節(jié)一問題情境

甲教師：

師：（問題1）向量的運(yùn)算有向量的加法、減法、數(shù)乘，叫做向量的線性運(yùn)算，那么向量與向量能否“相乘”呢？

生：能。

師：向量與向量“相乘”這種運(yùn)算怎么定義呢？

生：應(yīng)該不是線性運(yùn)算。

師：為什么？

生：老師，向量的加法、減法、數(shù)乘，叫做向量的線性運(yùn)算，向量與向量“相乘”沒有和它們放在一起學(xué)，那肯定和它們不一樣了。

師：怎么個不一樣法？

生：……

師：我們是怎么得到向量的線性運(yùn)算的，它的結(jié)果是什么？

生：是通過將實(shí)際生活中，物理中的矢量的合成與分解，速度在某時問段的位移抽象出來的，得到的結(jié)果還是向量。

師：你想一想，向量與向量“相乘”的結(jié)果是什么呢？

生：應(yīng)該不是向量了。

師：結(jié)果不是向量，只能是什么？

生：數(shù)……數(shù)量……（不是很肯定）

師（點(diǎn)頭）：是數(shù)量，我們在實(shí)際生活中有這樣的物理背景嗎？

生：做功，力做功的結(jié)果就是標(biāo)量，是一個數(shù)。

師：好，我們來分析這個物理背景。看看從求功的運(yùn)算中可以抽象出什么樣的向量運(yùn)算？

乙教師：

師：前面我們已經(jīng)學(xué)過的向量、向量的加減法、實(shí)數(shù)與向量的數(shù)乘，向量的加法、減法、向量的數(shù)乘我們稱之為向量的線性運(yùn)算。它們都是對實(shí)際問題的刻畫。（附表1）

師：（問題1）向量的線性運(yùn)算可以刻畫出所有的矢量運(yùn)算嗎？

生：（思考了一會）不能，不能形容矢量的做功運(yùn)算。

師：為什么？

生：矢量的做功得到的結(jié)果是一個標(biāo)量，也就是數(shù)，而你列舉的三種運(yùn)算得到的結(jié)果都是向量。

師：那怎么辦？

生：應(yīng)該引入一種新的運(yùn)算，用這種運(yùn)算來刻畫力的做功。

師：你準(zhǔn)備如何定義這種運(yùn)算？

生：現(xiàn)在還沒想好，我想我們應(yīng)該先分析矢量做功這個物理背景，找出這個物理背景中和數(shù)學(xué)有關(guān)的元素。

師：研究數(shù)學(xué)元素的目的是什么？

生：建立數(shù)學(xué)的量的關(guān)系，就像從力的合成與分解中，得出向量的加法、減法一樣。

師：對，建立物理背景中數(shù)學(xué)的量的關(guān)系就是建立數(shù)學(xué)模型，下面，請大學(xué)先分析做功這個物理背景。

教學(xué)意圖

甲教師：從數(shù)學(xué)知識內(nèi)部發(fā)展的需要引入概念，前面學(xué)習(xí)了向量的線性運(yùn)算，接下來就應(yīng)該學(xué)習(xí)向量的非線性運(yùn)算，并根據(jù)線性運(yùn)算的結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生得出新運(yùn)算的結(jié)果是數(shù)，側(cè)重?cái)?shù)學(xué)知識的聯(lián)系和對比。

乙教師：從實(shí)際問題中抽象出向量的概念及運(yùn)算（數(shù)學(xué)模型），然后用數(shù)學(xué)的方法研究數(shù)學(xué)模型，最后再運(yùn)用數(shù)學(xué)模型去解決實(shí)際問題。突出了知識的來龍去脈，有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)完整的認(rèn)識。

案例分析

情境的引入要能體現(xiàn)學(xué)習(xí)新知識的必要性，學(xué)習(xí)新知識的必要性一般有兩種情況：一是從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過程中引入新概念，也就是從數(shù)學(xué)的內(nèi)部出發(fā)，在原有知識的基礎(chǔ)上，通過歸納、比較、分析等思維活動，尋找新知識與原有知識的區(qū)別與聯(lián)系，建立新的知識，甲教師正是采用這一方式引入的；二是從解決實(shí)際問題的需要出發(fā)引入新概念，原有的知識不能解決新的問題，需要引入新的知識來刻畫，乙教師是采用這種方式引入的。

甲教師的引入雖然體現(xiàn)了新知識與原有知識的聯(lián)系，但是學(xué)生不能認(rèn)識到學(xué)習(xí)向量的數(shù)量積的必要性，只是因?yàn)榍懊鎸W(xué)過了向量的線性運(yùn)算，所以今天就要學(xué)非線性運(yùn)算，但是學(xué)習(xí)這個知識有什么用？非線性運(yùn)算是怎么來的？這些都是通過老師以設(shè)問的方式提出來的，雖然學(xué)生也能在老師的引導(dǎo)下去研究，但這是一種停留在數(shù)學(xué)知識本身的學(xué)習(xí)，這種學(xué)習(xí)相對被動，學(xué)生被老師牽著走，學(xué)生的思維難以得到激發(fā)。

乙教師的問題情境能夠讓學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)向量數(shù)量積的必要性，教師的提問不是直接指向數(shù)學(xué)知識本身，而是通過一系列的元認(rèn)知提示語，引導(dǎo)學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣思考問題，再現(xiàn)知識的“創(chuàng)造”過程，這個“創(chuàng)造”的過程就是研究數(shù)學(xué)的一般方法。不僅僅向量可以這樣研究，許多別的知識也可以這樣研究，如函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列等。這種教學(xué)不僅教了知識，也教會了學(xué)生如何思考。

3.2環(huán)節(jié)四 向量數(shù)量積的運(yùn)算律

甲教師：

師：我們學(xué)習(xí)了向量的數(shù)量積，下面我們來學(xué)習(xí)向量的數(shù)量積的運(yùn)算律。

（問題3）實(shí)數(shù)的運(yùn)算滿足哪些運(yùn)算律呢？

生：交換律、結(jié)合律、分配律。

師：請同學(xué)們類比一下，向量的數(shù)量積滿換律、結(jié)合律、分配律嗎？

（學(xué)生計(jì)算、思考）3分鐘后，

生：滿換律，不滿足結(jié)合律。

師：滿足分配律嗎？

生：應(yīng)該滿足吧。

師：為什么滿足分配律，說說理由，你能證明嗎？

生：……

師：好，大家類比一下實(shí)數(shù)的運(yùn)算，應(yīng)該是滿足分配律的?，F(xiàn)在大家還不會證明，是因?yàn)槲覀儧]有學(xué)向量的投影，現(xiàn)在我們來學(xué)習(xí)向量的投影。

（教師開始介紹向量的投影）

乙教師：

師：我們剛剛學(xué)習(xí)了一種新的運(yùn)算――向量的數(shù)量積，學(xué)習(xí)了一種運(yùn)算后，下一步我們應(yīng)該研究什么？

生：研究它的性質(zhì)。

師：哪些性質(zhì)？

生：是否滿足運(yùn)算的交換律、結(jié)合律、分配律？

師：滿足嗎？

（學(xué)生計(jì)算、思考）

生：滿換律，不滿足結(jié)合律，分配律還不確定。

師：怎么不能確定？

生：不知道怎么證明。

師：那怎么辦？不會證明，就沒辦法知道是否滿足分配律嗎？

生：能不能先用特殊的向量試試看？

師：對啊，你為什么不先試試看呢？

（學(xué)生用特殊向量計(jì)算、驗(yàn)證）

生：滿足。

師：為什么滿足？

生：我用好幾個特殊的向量驗(yàn)證后都滿足了。

師：那不特殊的向量也滿足嗎？你的結(jié)論具有一般性嗎？

生：那得證明后才能知道。

師：好，我們下面就來證明這個結(jié)論。

教學(xué)意圖

甲教師：教師通過設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生通過類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算律，證明向量的數(shù)量積所滿足的運(yùn)算律。

乙教師：引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)對象的過程，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)對象之后，應(yīng)該學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)，對于在現(xiàn)階段還不能證明的結(jié)論，以追問的形式引導(dǎo)學(xué)生用猜想、歸納、驗(yàn)證，最后進(jìn)行演繹證明。

案例分析

數(shù)的運(yùn)算、向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積、矩陣的運(yùn)算是一個發(fā)展趨勢鏈，教學(xué)應(yīng)該從發(fā)展的角度理解向量的數(shù)量積，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到數(shù)、向量的運(yùn)算聯(lián)系，也為今后引入矩陣及其運(yùn)算做了鋪墊。

兩位教師都能通過類比實(shí)數(shù)，學(xué)習(xí)向量數(shù)量積的運(yùn)算律。甲教師是直接讓學(xué)生去比較，乙教師則是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“新的數(shù)學(xué)對象――對象的性質(zhì)――（若可以進(jìn)行運(yùn)算）――運(yùn)算法則”這一過程，這也是概念系統(tǒng)的建立過程，在這個過程中，學(xué)生能體會到研究數(shù)學(xué)的通法，這種教學(xué)就能促進(jìn)學(xué)生主動地思考如何去研究數(shù)學(xué)對象。

當(dāng)學(xué)生遇到困難，不會證明向量數(shù)量積的分配律時，甲教師是直接進(jìn)行下一階段的學(xué)習(xí)，通過補(bǔ)充新的知識來加以證明。乙教師則是引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，先猜想、再驗(yàn)證、最后證明，這個過程也是數(shù)學(xué)新知識的發(fā)現(xiàn)過程，數(shù)學(xué)中的許多定理、結(jié)論都是這樣發(fā)現(xiàn)的，如費(fèi)馬定理、龐加萊猜想、希爾伯特問題等，數(shù)學(xué)家們通過直覺思維猜想某個定理，再通過一些特殊的例子加以驗(yàn)證，最后以嚴(yán)密的方法進(jìn)行邏輯證明。

當(dāng)然，學(xué)生的發(fā)現(xiàn)與數(shù)學(xué)家的發(fā)現(xiàn)是不同的，學(xué)生是在教師引導(dǎo)下對知識的“再發(fā)現(xiàn)”，這種“再發(fā)現(xiàn)”可以幫助學(xué)生學(xué)會思考，思考解決問題的策略，乙教師的教學(xué)能引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷這種“再發(fā)現(xiàn)”的過程。

4結(jié)束語