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時間：2022-03-19 14:18:37
序論：好文章的創(chuàng)作是一個不斷探索和完善的過程，我們?yōu)槟扑]十篇解方程應(yīng)用題范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質(zhì)，帶來更深刻的閱讀感受。
2設(shè)未知數(shù) 選擇一個適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)用字母表示，并根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系用含未知數(shù)的代數(shù)式表示有關(guān)的未知量
3列方程 根據(jù)相等關(guān)系列分式方程
4解方程 其過程可以省略
5檢驗 首先檢查所列方程是否正確，然后檢查所列方程的解是否符合題意
6寫答 千萬不要忘記單位
以上六個步驟，審題是基礎(chǔ)，難點(diǎn)是找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個相等關(guān)系，關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)和用未知數(shù)的代數(shù)式表示有關(guān)的未知量
現(xiàn)舉例介紹，供同學(xué)們參考
例1 2008年5月12日，四川省汶川發(fā)生80級大地震，某中學(xué)師生自愿捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人數(shù)比第一天捐款人數(shù)多50人，且兩天人均捐款數(shù)相等，那么兩天共參加捐款的人數(shù)是多少?人均捐款多少元?
分析:解答本題要注意利用如下相等關(guān)系：
第一天人均捐款數(shù)=第二天人均捐款數(shù)
解:設(shè)第一天捐款的人數(shù)為x人，則第二天捐款的人數(shù)為(x+50)人，依題意，得
=
解方程得, x=200
經(jīng)檢驗, x=200是所列方程的解，且符合題意
所以兩天捐款人數(shù)為x+(x+50)=450，人均捐款為 =24
答:兩天共參加捐款的有450人,人均捐款24元
例2 甲、乙兩同學(xué)玩“托球賽跑”游戲，商定:用球拍托著乒乓球從起跑線l起跑，繞過P點(diǎn)跑回到起跑線(如圖所示)；途中乒乓球掉下時須撿起并回到掉球處繼續(xù)賽跑，用時少者勝結(jié)果:甲同學(xué)由于心急，掉了球，浪費(fèi)了6秒鐘，乙同學(xué)則順利跑完 事后，甲同學(xué)說:“我倆所用的全部時間的和為50秒”，乙同學(xué)說:“撿球過程不算在內(nèi)時，甲的速度是我的12倍” 根據(jù)圖文信息，請問哪位同學(xué)獲勝?
分析：要判斷哪位同學(xué)獲勝，應(yīng)把甲、乙兩位同學(xué)跑完全程的時間分別求出來 不難發(fā)現(xiàn)，表示本題全部含義的一個相等關(guān)系為：
甲跑完全程的時間+乙跑完全程的時間=甲、乙兩同學(xué)所用的全部時間的和
解:設(shè)乙的速度為每秒x米，則甲的速度為每秒12x米 依題意，得 +6+ =50
解之, x=25
經(jīng)檢驗, x=25是所列方程的解，且符合題意
所以甲跑完全程的時間為 +6=26(秒),乙跑完全程的時間為 =24(秒)
答:乙同學(xué)獲勝
例3 某文化用品商店用2000元購進(jìn)一批學(xué)生書包，面市后發(fā)現(xiàn)供不應(yīng)求，商店又購進(jìn)第二批同樣的書包，所購數(shù)量是第一批購進(jìn)數(shù)量的3倍，但單價貴了4元，結(jié)果第二批用了6300元
(1)求第一批購進(jìn)書包的單價是多少元?
(2)若商店銷售這兩批書包時，每個售價都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元?
分析：解答本題要注意利用如下相等關(guān)系：
第二批所購書包數(shù)量=第一批所購書包數(shù)量的3倍
解:(1)設(shè)第一批購進(jìn)書包的單價是x元，則第二批購進(jìn)書包的單價是(x+4)元 依題意，得
= ×3
解方程得, x=80
經(jīng)檢驗, x=80是所列方程的解, 且符合題意
答:第一批購進(jìn)書包的單價是80元
(2)不難計算出,第一批所購書包數(shù)量為 = =25(個),第二批所購書包數(shù)量為25×3=75(個)
所以兩批書包的全部售價為(25+75)×120元，即12000元
常言道：攻心為上，攻城為下。任何事情，要想取得成功，獲得勝利，首先應(yīng)該在心理上要戰(zhàn)勝自己。面對列方程解應(yīng)用題，相當(dāng)一部分學(xué)生存在著畏懼心理，總認(rèn)為此類題目難解、費(fèi)時，即使勉強(qiáng)做出來，也難以確定該答案到底正確與否。很多學(xué)生都愿意將時間花在計算題上，不知道他們是否想過，放棄了列方程解應(yīng)用題，即使其他題目弄個全對，能算優(yōu)秀生嗎？答案當(dāng)然是肯定的。這類考生在列方程解應(yīng)用題的這方一面的能力，永遠(yuǎn)是一片空白。況且，有些應(yīng)用題本來就非常簡單，由于畏懼心理的影響，再簡單的題目，也人為的變得復(fù)雜起來。面對應(yīng)用題，我們一定要克服畏懼的心理，勇于挑戰(zhàn)，反復(fù)讀題、審題，弄清題意，找出其中的等量關(guān)系，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，順藤摸瓜，認(rèn)真思考，仔細(xì)分析，再復(fù)雜的問題也會迎刃而解。
2 分清方程的類型及特點(diǎn)
將軍在排兵布將時，心中早就已經(jīng)對地形、兵種、武器、天氣等等一切情況有著周密的了解，同樣的道理，我們在解方程之前，胸中也應(yīng)該有一盤完整的棋局，即掌握方程的各種類型及其特點(diǎn)。我們要能夠判斷某個應(yīng)用題大致涉及到的是一元方程還是多元方程，是一次方程還是高次方程。這樣，我們才能思路正確的進(jìn)行解題。
3 掌握列方程解應(yīng)用題的一般步驟
列方程解應(yīng)用題的一般步驟大致歸納為“審”、“設(shè)”、“列”、“解”、“檢驗”、“答”六個步驟，但是，每一步對解題都至關(guān)重要、缺一不可。因此，我們應(yīng)該認(rèn)真對待其中的每一步，絕對不能疏忽。
（1）“審”題，是指讀懂題目，弄清題意，看看單位是否統(tǒng)一?？纯搭}目告訴了我們哪些已知條件，要求我們解決什么問題。審題是列方程的基礎(chǔ)，審題體現(xiàn)出作題者的文字功底和對數(shù)學(xué)語言的掌握程度，因此，我們應(yīng)該在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的同時，加強(qiáng)對閱讀能力的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)語言的理解、積累。
（2）“設(shè)”是指設(shè)未知數(shù)。在一道應(yīng)用題中，往往含有一個或者一個以上的未知量，我們應(yīng)該將這些未知量，在理解題意的前提下，用表示數(shù)的字母將其表示出來。當(dāng)題目中只含有一個未知量的時候，我們通常用字母X表示，當(dāng)題目中含有第二個未知量的時候，我們要么采取用含有一個字母的代數(shù)式去表示另一個數(shù)的方法去處理，要么用另外一個字母（如Y）表示。假設(shè)題目中還存在第三個未知量，我們就用與前面不相同的字母（如Z）表示，依此類推。然后根據(jù)各量之間的數(shù)量關(guān)系，將其它幾個未知量用字母或含字母的代數(shù)式表示出來。
（3）“列”就是列方程。這是非常重要的關(guān)鍵步驟，一般先找出題目中的等量關(guān)系。如何去找題目中的等量關(guān)系呢？這又涉及到題目的閱讀與理解問題，我們要回過頭來，仔細(xì)研究題目中的各個數(shù)量之間的大、小、多、少、和、差、倍、分、增加、減少等等的關(guān)系，也就是說，誰比誰大多少，誰比誰的幾倍或幾分之幾，誰增加了多少，誰又減少了多少等等此類問題。然后，字母或代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個量，就得到含有未知數(shù)的等式，即方程，注意，單位要統(tǒng)一，要不然會前功盡棄。
（4）“解”就是解方程，即求方程的解的過程。在這里，一定要分清楚“解方程”與“方程的解”是兩個意義完全不同的兩個概念，解方程是指求未知數(shù)的值的過程，也就是指解題過程，而方程的解指使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，是指數(shù)值，而且要求這些數(shù)值要能夠使方程的左右兩邊相等。求出未知數(shù)的值，這一步要倍加小心、認(rèn)真。要考慮到如何去掉方程中的分母，如何去掉方程中的括號，如何變號移項、合并同類型等等因素，如果是二元一次方程，我們還要考慮是采用求根公式法還是因式分解法等。
首先是“解”。這一步很簡單，就是寫個“解”字。目的是讓學(xué)生知道解題開始了，便于培養(yǎng)學(xué)生用方程解決應(yīng)用題的思維意識。
其次是“設(shè)”。這一步可分為兩種情況。一種情況是問題只有一個。題目問什么，就設(shè)什么為x（加上單位）。另一種情況是問題有兩個。特別是出現(xiàn)“分別”、“各”等字樣時，就可以設(shè)較小的一個為x（加上單位），然后把另一個用含有x的算式表示。
再次是“列”。這一步就是根據(jù)題目中的關(guān)鍵詞和等量關(guān)系列方程。這是用方程解決應(yīng)用題的關(guān)鍵一步。列方程的主要方法有以下三種。
第一種是找關(guān)鍵詞列方程。涉及的具體情形主要有四種。
1.加法：一般出現(xiàn)“一共”、“和”、“總共”、“共”等字眼時，結(jié)合實(shí)際題意可以用加法。
2.減法：一般出現(xiàn)以下字眼用減法。如“剩”、“還剩”、“剩下”、“差”等。
3.乘法：題意中出現(xiàn)“倍”、“積”、“乘積”、“已知單量求總量”等都用乘法。
4.除法：當(dāng)題目中出現(xiàn)“商”、“除”、“除以”、“已知總量求單量”、“求幾分之幾”時一般用除法。
第二種是找等量關(guān)系列方程。常用到的等量關(guān)系有：
路程=速度×?xí)r間 現(xiàn)價=原價×折數(shù)
總價=單價×數(shù)量 工效=工作總量÷工作時間
利息=本金×利率×?xí)r間
還有各種圖形的周長、面積、體積公式等。
第三種是畫線段圖列方程，見例1、例2。
接著是“求”。這一步就是要讓學(xué)生求出方程中未知數(shù)的值。小學(xué)所學(xué)的方程主要有三種形式：Ax=B Ax+B=C Ax+Bx=C。其中“A、B、C”代表學(xué)過的各種數(shù)，“+、-、×、÷”代表運(yùn)算符號?？梢园凑杖缦逻^程解方程求未知數(shù)。
最后是“答”。就是把所設(shè)出的未知數(shù)“x”替換成解方程得到的具體數(shù)值，目的是讓學(xué)生知道此題已解答完畢。
上述五步是小學(xué)用方程解決應(yīng)用題的主要步驟。應(yīng)用題的最終解答，總要經(jīng)歷將抽象的題意轉(zhuǎn)換成運(yùn)算符號和數(shù)字的活動過程。如果教師在學(xué)生解答方程應(yīng)用題后，再讓學(xué)生反其道而思之，對此題進(jìn)行改編，就發(fā)展其數(shù)學(xué)思維和提高其興趣。下面通過具體例子加以說明。
例1.某校五一班學(xué)生喜歡看故事書的占60%，看科技書的占30%，喜歡看故事書的比科技書的多30人，五一班一共有多少人？
分析：題目中有三個量：已知條件“五一班學(xué)生喜歡看故事書的占60%，看科技書的占30%”。關(guān)鍵句：“喜歡看故事書的比科技書的多30人”。問題：“五一班一共有多少人？”
答：五一班一共有100人。
例2.小敏家九月份用水12噸，比八月份節(jié)約了25%，八月份用水多少噸？
分析：題目中有三個量：已知條件“九月份用水12噸”。關(guān)鍵句：“比八月份節(jié)約了25%”。問題：“八月份用水多少噸？”。
列方程解應(yīng)用題因綜合性強(qiáng)、涉及面廣等特點(diǎn)，成為廣大初中生難以攻克的“堡壘”、難以跨越的障礙，成為教師教學(xué)中的一個難點(diǎn)。
列方程解應(yīng)用題，從表面分析，無疑涵蓋兩個內(nèi)容：列方程和解應(yīng)用題。這二者是手段和目的的關(guān)系，列方程是解應(yīng)用題的方法，列方程的目的是解應(yīng)用題，而解應(yīng)用題通過列方程實(shí)現(xiàn)，列方程的核心是找等量關(guān)系。因此，筆者在列方程解應(yīng)用題的步驟和方法及應(yīng)注意的問題等方面談?wù)剮c(diǎn)實(shí)踐性體會。
一、樹立信心和耐心
列方程解應(yīng)用題貫穿初中整個教學(xué)過程，七年級學(xué)習(xí)，八年級滲透，九年級仍然是重點(diǎn)。根據(jù)多年的教學(xué)實(shí)踐觀察，多數(shù)學(xué)生對列方程解應(yīng)用題感到力不從心，往往束手無策，遇到這類題大都望題生嘆。久而久之，對列方程解應(yīng)用題失去信心，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去信心和動力，拿到問題，思考不出解題思路就放棄的數(shù)不勝數(shù)，認(rèn)為這類題難，不論怎么想都不可能解決，信心全無，耐心沒有，決心消失殆盡，學(xué)習(xí)興趣不再濃厚。
興趣是最好的老師，教學(xué)列方程解應(yīng)用題時，可以通過設(shè)計生活化問題，以學(xué)生身邊實(shí)例進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生感到列方程解應(yīng)用題與自己息息相關(guān)，與生活密不可分。
二、抓住“四個步驟”
1.審題
所謂審題，就是認(rèn)真讀題目，理解題意，分析已知和未知，分清題設(shè)與結(jié)論。如甲乙兩站之間的距離是660km，一列客車以90km/h的速度從甲站開往乙站，同時一列貨車以75km/h的速度從乙站開往甲站，問經(jīng)過多長時間相遇？
對于這個問題，要指導(dǎo)學(xué)生：拿到問題，首先找出已知條件：甲乙兩站的距離，兩列車的速度及車的運(yùn)動方向――相對運(yùn)動，以及一個隱含條件――兩列車走完全程660km，未知條件，也就是開車多長時間兩車相遇，即要求的是時間。
2.分析
分析的過程就是根據(jù)已知條件和未知條件，判斷二者本質(zhì)聯(lián)系的過程。如上文的兩列車相遇問題，務(wù)必清楚，兩車相遇，簡言之就是兩車行駛的距離之和等于甲乙兩站之間的距離。經(jīng)過這樣的分析，為找等量關(guān)系和解決問題奠定基礎(chǔ)。
3.解答
解答過程又分為四步走：
（1）確定等量關(guān)系。仍然以兩列車相遇為例：分析數(shù)量關(guān)系時，已經(jīng)得到“兩車行駛的距離之和等于甲乙兩站之間的距離”的結(jié)論，而這個等量關(guān)系用數(shù)學(xué)語言――數(shù)學(xué)公式可以表示為：客車行駛的路程+貨車行駛的路程=總路程。
（2）設(shè)未知數(shù)。設(shè)未知數(shù)，就是題目中要求的未知量，用未知數(shù)x等表示出來。這個題目中要求的是“經(jīng)過多長時間兩車相遇”，那么就可以直接將這個未知量設(shè)定為x，未知數(shù)的設(shè)定為實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言、為列方程埋下伏筆。
（3）列方程。以兩車相遇問題為例，找到等量關(guān)系后，根據(jù)已知條件，總路程是660km，經(jīng)過x小時后相遇，那么兩輛車行駛的距離分別是90x和75x，那么，方程90x+75x=660便浮出水面。
（4）解方程。對于列方程解應(yīng)用題的問題解決過程中，常見到學(xué)生習(xí)慣用“解之得”而忽略解方程的全過程，將x=？直接寫出來，這樣容易功虧一簣，容易解錯，如果不能及時代入檢驗的話，出錯率就會提高。
校對，簡單說就是“檢驗”，既要驗證x的值是否是方程的解，又要代入實(shí)際問題中，看是否合乎問題要求。如通過解方程，不難得出x=4（h），那么經(jīng)過四小時相遇，貨車走的路程是75x=75×4=300km，而客車行駛的是90x=90×4=360km，而兩車行駛的距離之和300+360正好等于甲乙兩站間的全程660km。這樣，才足以說明所求的結(jié)果是正確的。
教師應(yīng)該強(qiáng)調(diào)：列方程解應(yīng)用題時的四個步驟，哪一步都不能放松和馬虎，否則，容易出錯。
三、找準(zhǔn)等量關(guān)系
找等量關(guān)系，是列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生掌握尋找等量關(guān)系的方法，從方法上找突破口。一般來說，找等量關(guān)系無外乎譯式、列表、圖例、圖示等分析法。
找等量關(guān)系時，應(yīng)注意以下幾個問題：
1.未知數(shù)的設(shè)法可以多樣化，可以根據(jù)自己的實(shí)際情況或者問題的需要采用不同的方法，從不同角度分析和設(shè)這個未知數(shù)。一般直接解法是問什么設(shè)什么為x。而這個問題也可以換個方法求解，即設(shè)相遇時，客車走了xkm，那么貨車行駛了660-x，那么不難得出x/75=660-x/90，求出x，要求的時間是x÷75，這樣問題就迎刃而解。
2.注意單位換算，一些問題中如果給出的單位不相同，那么，換算成統(tǒng)一的單位，才能找等量、列方程。如上面的實(shí)際問題，給出的兩輛車的車速，單位是一致的，都是km/h，如果其中一輛是m/s的話，務(wù)必需要換算為統(tǒng)一的單位。
3.方程兩邊的代數(shù)式表達(dá)的必須是同一個屬性的量。以行程類問題而言，等式左邊是路程，右邊不能是速度或者時間，反之亦然。關(guān)系屬性量不一致，方程就沒有任何意義。
列方程解應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容之一。教學(xué)中，應(yīng)認(rèn)識到它的重要價值所在，并認(rèn)真研究教法，“授之以漁”。這個部分才不會成為學(xué)生的弱點(diǎn)，教學(xué)才會大為改觀，教學(xué)質(zhì)量才會穩(wěn)步提高。
“分散難點(diǎn)，各個擊破”是列方程解應(yīng)用題應(yīng)該遵循的教學(xué)原則，所以，在學(xué)習(xí)代數(shù)式與整式加減時，就可著手訓(xùn)練學(xué)生把文字式的數(shù)量關(guān)系翻譯成代數(shù)式的能力，使學(xué)生學(xué)會并習(xí)慣于用字母表示數(shù)，以培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力.
其次，要訓(xùn)練學(xué)生善于把文字?jǐn)⑹龅念}目數(shù)學(xué)符號化，逐步實(shí)現(xiàn)學(xué)生從算術(shù)解題思路向代數(shù)解題思路的轉(zhuǎn)化.在有些版本的教材里，在學(xué)生學(xué)習(xí)正負(fù)數(shù)有理運(yùn)算的前后，結(jié)合小學(xué)里學(xué)過的一些簡單算術(shù)題采取列方程的教學(xué)形式，再利用“等量加（減）等量和（差）相等”的原理來求解，然后，和它的算術(shù)解法相對照，使學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)用算術(shù)方法解題就是把解題思路和解題方法聯(lián)系起來考慮.這樣思路既不容易清晰明白，步驟也不明確；反之，如果采用代數(shù)解法，步驟明確，方法新穎，而且有規(guī)律可循，就化難為易了.如此，既可以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)知識的興趣，又為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)列方程解應(yīng)用題做好了鋪墊.
再次，在列方程解應(yīng)用題的入門教學(xué)時，多數(shù)題目是按照“三度量”關(guān)系來列等式的，如，距離=速度×?xí)r間，總價=單價×件數(shù)，工作量=工效×工時等等.這些公式在準(zhǔn)備工作中也應(yīng)該放在重要的地位上，而且這些知識都可以在學(xué)習(xí)代數(shù)式的相應(yīng)章節(jié)里聯(lián)系小學(xué)的舊知識加以拓展，使它在列方程解應(yīng)用題的教學(xué)中起到正遷移的作用.
最后，學(xué)生在學(xué)習(xí)解方程的過程中，可嚴(yán)格訓(xùn)練，使學(xué)生能夠準(zhǔn)確無誤地進(jìn)行迅速合理的運(yùn)算，且能正確驗根.把列方程和解方程的兩個步驟區(qū)分開來，這就把列方程解應(yīng)用題的難點(diǎn)分散開來處理了，為日后列方程解應(yīng)用題創(chuàng)造了良好的條件.
總之，列方程解應(yīng)用題必須使學(xué)生闖過翻譯關(guān)、思路關(guān)、列方程和解方程這四個關(guān)口，才能順利利用方程解應(yīng)用題.
二、列方程要重視不變量的研究
方程的形式一般為：f（x）=ξ（x）.其中x并不是變量，而是未求出的未知量，它是個確定量.這樣就可以看出用等號連接起來的兩個量f（x）和ξ（x）僅是形式不同而實(shí)質(zhì)一樣的確定量.不妨把這種量稱為不變量.即一旦設(shè)定某未知量為x時，那么根據(jù)應(yīng)用題中的內(nèi)容，必然可以找到含有x的兩個形式不同、實(shí)質(zhì)一樣、有相等關(guān)系的確定量f（x）與ξ（x）.
1.當(dāng)確定量ξ（x）=c（常量）時，題目中一定存在一個明顯的確定量c，它等于含有未知量x的確定量f（x），即f（x）=c，不妨把量c叫作顯在不變量，我們可以它作為標(biāo)準(zhǔn)來列方程.
例1已知某戰(zhàn)車在公路和小路上的速度分別為40千米/時，30千米/時.現(xiàn)這個戰(zhàn)車在516小時內(nèi)行30千米.問它在公路上和小路上行了多少千米？
解法1根據(jù)題意，戰(zhàn)車在公路和小路上的速度是確定的，它所行的總路程和總時間也是已知的.若設(shè)戰(zhàn)車在公路上行駛x千米，則在小路上行駛（30-x）千米.根據(jù)行程的“三度量”關(guān)系求出戰(zhàn)車在公路和小路上分別用的時間.至此，就可用題目中已知的總時間516小時作為顯在不變量，并以它為標(biāo)準(zhǔn)列得方程：x140+30-x130=516，x=20.
解法2如設(shè)戰(zhàn)車在公路上行駛x小時，利用間接法同樣可以求出戰(zhàn)車在公路和小路行駛的里程數(shù).為此，就可用題目中已知的總路程30千米作為顯在不變量，并以之為標(biāo)準(zhǔn)列得方程：40x+30516-x=30，x=112.
比較兩種解法，不難發(fā)現(xiàn)所設(shè)未知量的內(nèi)容不同，顯在不變量就不同，導(dǎo)致列方程的標(biāo)準(zhǔn)就有了改變，列方程和解方程也就因此有了繁簡和難易之分.所以，我們在列方程解應(yīng)用題時，首先，要考慮題目中是否有顯在不變量，若有多個，就可以一個恰當(dāng)?shù)娘@在不變量作為列方程的標(biāo)準(zhǔn)，以簡化解題過程.
2.當(dāng)確立量ξ（x）不是表現(xiàn)為一個常量，而是一個含有未知量x的量，不妨把這個確定量稱為潛在不變量.即在所給題目中雖然沒有直接表現(xiàn)出某個常量作為顯在不變量，但從已知量和未知量潛在的變化關(guān)系中可以確定出某個量是不變的，并可以用這個量作為標(biāo)準(zhǔn)列方程.
例2某學(xué)生騎自行車以12千米/時的速度下山，而后以9千米/時的速度過平路到達(dá)目的地，共耗時11112小時；他返回時，以8千米/時過平路，再以4千米/時上山回到家中，共耗時1.5小時.問學(xué)生家距目的地多遠(yuǎn)？
解法1解此題目，只要分別求出山路和平路長后，全長就水到渠成.但根據(jù)題意，不管該學(xué)生騎車往返速度怎樣變化，題中雖然也未給出山路或平路的路程，但平路長和山路長總是個確定量，我們就可以用確定量山路長或平路長作為標(biāo)準(zhǔn)來列方程.
如果設(shè)山路長為x千米，因?qū)W生騎車往返所需的總時間是已知的，且騎車的速度變化也是已知的，這時路長就是個潛在不變量，通過學(xué)生往返的過程就可用平路長作為標(biāo)準(zhǔn)列出方程：911112-x112=81.5-x14，x=3.
解法2如設(shè)平路長為x千米，就可用山路長作為標(biāo)準(zhǔn)列方程：1211112-x19=4312-x18，x=6.
通過這個例子可以看出，方程的兩邊必須是同類的量；同時從上述兩例也可得知，應(yīng)用題按列方程的標(biāo)準(zhǔn)可分為顯在不變量型和潛在不變量型兩類.因此，在分析題意時，著重從各種數(shù)量變化關(guān)系里找出標(biāo)準(zhǔn)不變量列方程是解應(yīng)用題的關(guān)鍵.
行文至此，我們完全可以明白，列方程的標(biāo)準(zhǔn)就是在審題過程中尋找到的某個確定的不變量，并以之作為列方程的依據(jù).
三、列方程要認(rèn)真分析語句
我們在研究應(yīng)用題的過程中，不難發(fā)現(xiàn)題目陳述信息中包含了關(guān)于已知條件、結(jié)論、數(shù)量之間變化關(guān)系的三類語句，后者則是列方程的著眼點(diǎn).因此，教師或?qū)W生在掌握了題目中的條件和結(jié)論的前提下，一定要從整體出發(fā)，認(rèn)真思索，深入挖掘，著重分析有變化關(guān)系的語句，再從變化的形式里找出不變的因素，確定出列方程的標(biāo)準(zhǔn)依據(jù)，才能順利地解決問題.這也就是通常所說的抓主要矛盾的方法.
例3某個任務(wù)，由甲獨(dú)做，3天才能完成；由已做，6天才能完成.那么甲乙二人合做幾天可以完成？
解此題比較簡單，除了后面那個語句是關(guān)系語句和結(jié)論外，其他語句都是條件.但由于其中沒有說明任務(wù)的工作量是多少.傳統(tǒng)的教學(xué)法就把它看作單位1，這就比較抽象，使初學(xué)的人難于理解.實(shí)際上，它指的既可以是一件東西，也可以是一堆東西，多少雖然是不定的，但它有確定的內(nèi)容，這是一方面.其次，此題也暗示著這任務(wù)雖然也是一個條件，但是它在解題的最后過程中卻游離于題目之外，因此，它是一個參變量.為了把抽象事物具體化，便于理解，可以把它作為參數(shù)a考慮，使問題明朗化，并且具有直觀性.因此，筆者認(rèn)為參數(shù)的引入，是理解題意的橋梁、思考問題的手段，應(yīng)該引起人們重視.
設(shè)這個任務(wù)的工作量為a，且兩人合作x天可以完成.根據(jù)“三度量”關(guān)系：工作量=效率×?xí)r間，得a13x+a16x=a，x=2.
例4某儀器制造廠按計劃每天生產(chǎn)20臺儀器，到預(yù)定期內(nèi)尚差100臺不能完成任務(wù).若提高工效25%，到期就將超額50成任務(wù).問原計劃生產(chǎn)儀器多少臺？預(yù)定期限是多少天？
著名的荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗萊登塔爾說過： “與其說學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，倒不如說學(xué)習(xí)‘?dāng)?shù)學(xué)化’.”方程就是將眾多實(shí)際問題‘?dāng)?shù)學(xué)化’的一個重要模型。因此，會善用、活用一元一次方程這個數(shù)學(xué)模型，對提高學(xué)生的思維水平和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識有很大幫助。筆者通過多年的教學(xué)實(shí)踐，結(jié)合北師大版七年級上冊第五章《一元一次方程》的內(nèi)容，認(rèn)為初中一元一次方程應(yīng)用題的解題策略可以從以下幾方面入手：
一、列方程解應(yīng)用題的主要步驟：
1、審：理解題意，弄清問題中已知量是什么，未知量是什么，問題給出和涉及的相等關(guān)系是什么。
2、設(shè)：①直接未知數(shù)②間接未知數(shù)（往往二者兼用）。
3、列：根據(jù)等量關(guān)系列出方程。解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找等量關(guān)系。
4、解：根據(jù)解方程的基本步驟，求出未知數(shù)的值。
5、驗：檢查求得的未知數(shù)的值是否是這個方程的解，是否符合實(shí)際情形。
6、答：對題目中有關(guān)問題進(jìn)行回答。
二、一元一次方程應(yīng)用題的常用解題方法：
1.圖示法：
對于一些較直觀的問題，可以用示意圖表示出題目中的條件及它們之間的關(guān)系。然后由示意圖中有關(guān)基本量的內(nèi)在聯(lián)系找到相等關(guān)系，列出方程。比如用線段表示距離，箭頭表示方向，此法多用于行程問題等。
2.列表法：
對于數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜的應(yīng)用題，有時可先畫出表格，在表格中表示出各個有關(guān)的量，使題目中的條件和結(jié)論變得直觀明顯，從而找到它們之間的相等關(guān)系。此法多用于比例分配問題，等積變形問題，工程問題以及其它條件較多，關(guān)系較復(fù)雜的題目。
3.公式法：
學(xué)生熟識的公式諸如 “利潤=售價-成本”、 “本息和=本金+利息” 、“路程=速度×?xí)r間”、“工作總量=工作效率×工作時間”等，直接套用這些公式就可以找出題目中的等量關(guān)系，列出方程。
三、一元一次方程應(yīng)用題的常見類型：
1. 和、差、倍、分問題：（日歷中的方程）
例1. 在一份日歷中，任意框出一個豎列上相鄰的四個數(shù)，觀察他們之間是什么關(guān)系？如果框出的四個數(shù)的和為58，這四天分別是幾號？
[分析] 觀察、分析日歷中相鄰的兩個數(shù)之間有什么關(guān)系？發(fā)現(xiàn)日歷中相鄰的數(shù)據(jù)橫差1；豎差7
解：設(shè)豎列的四個數(shù)中最小的一個是 ，其余三數(shù)分別為 +7， +14， +21
由題意，得 + +7+ +14+ +21=58
解得： =4
答：這四個數(shù)是4號，11號，18號，25號。
總結(jié)：此題可采用“圖示法”，可以借助“日歷表”找到它們之間的相等關(guān)系
2. 銷售問題：（打折銷售）
例2. 一家商店將某種服裝按進(jìn)價提高40%后標(biāo)價，又以8折優(yōu)惠賣出，結(jié)果每件仍獲利15元，這種服裝每件的進(jìn)價是多少？
[分析]找出題目中隱含的條件：折扣后價格—進(jìn)價=利潤
解：設(shè)進(jìn)價為 元
由題意，得80% （1+40%）— =15
解得： =125
答：進(jìn)價是125元。
總結(jié)：此題可采用“公式法”，關(guān)鍵在于掌握銷售問題的公式：售價-成本=利潤
3. 比例分配問題：（“希望工程”義演）
例3. 我區(qū)某學(xué)校原計劃向內(nèi)蒙古察右后旗地區(qū)的學(xué)生捐贈 3500冊圖書，實(shí)際共捐贈了4125冊，其中初中學(xué)生捐贈了原計劃的120%，高中學(xué)生捐贈了原計劃的115%. 問：初中學(xué)生和高中學(xué)生原計劃捐贈圖書多少冊？
[分析]題目中存在兩個相等關(guān)系：初中學(xué)生原計劃捐贈冊數(shù) + 高中學(xué)生原計劃捐贈冊數(shù)=3500冊 ；初中學(xué)生實(shí)捐贈冊數(shù) + 高中學(xué)生實(shí)捐贈冊數(shù)=4125冊
解：設(shè)初中學(xué)生原計劃捐書 冊，則高中學(xué)生原計劃捐書（3500- ）冊，由題意，得120% +115% （3500- ）=4125
解得： =2000 3500-2000=1500（元）
答：初中學(xué)生原計劃捐贈2000冊圖書，高中學(xué)生原計劃捐贈1500冊圖書。
總結(jié)：此題可采用“列表法”，使題目中的條件和結(jié)論變得直觀明顯，更容易找到它們之間的等量關(guān)系。
關(guān)于一元一次方程的應(yīng)用題，在教學(xué)中要突出關(guān)于問題解決的策略、方法的引導(dǎo)。要引導(dǎo)學(xué)生會具體情況具體分析，靈活運(yùn)用所學(xué)知識，逐步用方程模型解決實(shí)際問題。
總結(jié)多年教學(xué)的經(jīng)驗，我認(rèn)為對列方程解應(yīng)用題這部分，分以下三步進(jìn)行教學(xué)，效果較為理想。
第一步： 也是最重要的一步，做好從算術(shù)法到方程理念的改變
從算術(shù)法解應(yīng)用題過渡到方程解是思考方法上的一次轉(zhuǎn)折和飛躍。學(xué)生在列出含有未知數(shù)的等式過程中，要把未知數(shù)和已知數(shù)一樣看待。這樣尋找題中的等量關(guān)系就成了列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵。在多個相關(guān)的基本數(shù)量關(guān)系中必有一個是主要的，那么尋找題中的主要數(shù)量關(guān)系也就是列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵。
第二步：適當(dāng)?shù)木毩?xí)。
結(jié)合練習(xí)更好的理解和掌握列方程解應(yīng)用題的方法和步驟。但從多年的教學(xué)經(jīng)驗來看，有相當(dāng)?shù)囊徊糠滞瑢W(xué)不能達(dá)到教學(xué)的要求。所以我針對這一現(xiàn)象做了第三步的嘗試。
第三步：在做好以上教學(xué)和練習(xí)的基礎(chǔ)之上，注重對題目類型做出歸納和總結(jié)。
類型一：根據(jù)四則運(yùn)算的意義列方程（如例1，兩個量的大小比較等）
在例1的教學(xué)中，若用算術(shù)方法解，需要逆思考，思維難度較大，學(xué)生容易出現(xiàn)先除后減的錯誤。通常不作教學(xué)要求。這里用方程解，思路比較順，體現(xiàn)了列方程解實(shí)際問題的優(yōu)越性
這道題的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生容易想到多種代數(shù)形式
黑色皮的塊數(shù)×2－白色皮的塊數(shù)＝4
黑色皮的塊數(shù)×2－4＝白色皮的塊數(shù)
黑色皮的塊數(shù)×2＝白色皮的塊數(shù)＋4
比較而言， ax±b=c形式更容易理解，有利于達(dá)成既學(xué)列方程，又學(xué)解方程的教學(xué)目標(biāo)。因此，教材的解答,選用了把黑色、白色皮的塊數(shù)關(guān)系看成一個數(shù)的幾倍與另一數(shù)比大小的關(guān)系。也就是求比一個數(shù)的幾倍多（或少）幾是多少得問題。
類型二：逆向思考的還原應(yīng)用題（如上車下車問題，收入支出問題，進(jìn)貨銷售問題，）
如：原來有一些水果糖，賣出34千克以后，還剩41千克。又運(yùn)來25千克，原來有多少千克水果糖？
原有的重量＋運(yùn)來的重量－賣出的重量＝剩下的重量
x ＋ 25 － 34 ＝ 41
這類問題的過程越復(fù)雜，則用算術(shù)法解決的難度就越大，而相反也就越能顯示出列方程解應(yīng)用題的優(yōu)越性。
類型三：兩個量相比較的倍和或倍差問題（如例2，相遇問題，追及問題等）
例2創(chuàng)設(shè)了購買兩種水果的現(xiàn)實(shí)問題情境。如果撇開各數(shù)量的具體內(nèi)容，就它的數(shù)學(xué)意義來講，可抽象為兩積之和的數(shù)量關(guān)系。這種數(shù)量關(guān)系在生活中經(jīng)常能遇到。而且，理解了兩積之和的數(shù)量關(guān)系，也就容易理解兩積之差、兩商之差的數(shù)量關(guān)系。在例2中組成兩積的四個因數(shù)，有兩個是相同的，這就可以根據(jù)分配律，得到含小括號的方程。這些都使例2具有舉一反三的典型意義。
教材給出了兩種方程，其一為兩積之和等于已知的總數(shù)，讓學(xué)生自己解答。其二為含小括號的方程，介紹了把小括號內(nèi)的式子看作一個整體求解的思路和方法，并留有空白讓學(xué)生自己解完。
類型四：根據(jù)公式法列方程（已知三角形面積，梯形面積，圓錐體體積等，求底或高）
如:面積為15平方厘米的三角形紙片的底邊長6厘米,這條底邊上的高是多少厘米?
這一題目學(xué)生再用算術(shù)法解答時，在”除以2”的處理上出錯或方法欠妥；而用方程解答這一類的應(yīng)用題就顯得異常自然且易于接受，優(yōu)勢非常明顯。
三角形的底X三角形的高÷2 ＝ 三角形的面積
6 × h ÷2 ＝ 15
【中圖分類號】G633.6
經(jīng)過多年的數(shù)學(xué)教學(xué)讓我對解應(yīng)用題有了一定的了解。我認(rèn)為掌握各種應(yīng)用題類型的數(shù)學(xué)模型（公式）是關(guān)鍵。只要我們多動腦勁，勤于歸納出各種類型應(yīng)用題的數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行運(yùn)用，就可以提高解應(yīng)用題的能力。并且讓學(xué)生做到心中有數(shù)，以后就不會再那么怕見到應(yīng)用題了。把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,即為數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型不同于一般的模型,它是用數(shù)學(xué)語言模擬現(xiàn)實(shí)的一種模型,即把一個實(shí)際問題中某些事情的主要特征、主要關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)語言、符號,近似地反映事物的內(nèi)在聯(lián)系與變化過程。解決此類問題的關(guān)鍵步驟主要有兩個:一是建立數(shù)學(xué)模型(建模);二是運(yùn)用有關(guān)知識求解數(shù)學(xué)模型(解模或解方程)。建模就是構(gòu)建適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)關(guān)系(如公式、函數(shù)、方程或圖形),使原來的問題情境轉(zhuǎn)化為易于解決的問題的解題方法,解模就是從題設(shè)條件和求解結(jié)論中得出啟示,構(gòu)造出一些新的數(shù)學(xué)形式,通過對這些數(shù)學(xué)形式的研究可以得出解題思路,從而達(dá)到解題的目的。
下面我以新人教版九年級（上）數(shù)學(xué) 第二十二章 一元二次方程 這一章中的應(yīng)用題類型為例來說明歸納數(shù)學(xué)模型（公式）的重要性。這一章也是初中介段應(yīng)用題的重點(diǎn)，特別是生活中的實(shí)際問題是我們學(xué)習(xí)解應(yīng)用題的最終目的。其中：
一、傳播問題中的數(shù)量關(guān)系模型
設(shè)共有m人患病，每輪平均一個人傳播b個人，則一輪后，傳染了mb人，這樣共有m+mb人患??；第二輪后，又傳染了(m+mb)b人，共有(m+mb)+(m+mb)b=m(1+b)2人患病。如此下去第三輪后有m(1+b)3人患病，第n輪后有m(1+b)n人患病。利用這一模型就能快速完成這方面的問題：
例：某種電腦病毒傳播非?？?，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染。請你用學(xué)過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會不會超過700臺？
解析：設(shè)每輪感染中平均1臺電腦會感染x臺電腦，則第一輪感染x臺電腦，已有1+x臺電腦被感染，第二輪中感染(1+x)x臺電腦，利用上述數(shù)學(xué)模型m(1+b)n其中這里m=1,b=x,二輪n=2。依題意可列方程：（1+x）2=81（解得x=8） 所以，(1+x)3=729>700故超過700臺。這類問題還有很多，比如“流行感冒”、生活中的“傳播疾病”等等都可以用到以上數(shù)學(xué)模型得以解決。
二、增長（降低）率問題中的數(shù)量關(guān)系模型
若設(shè)第一年產(chǎn)量a為，年平均增長或降低率為x，則第二年的產(chǎn)量為a(1±x)1，第三年的產(chǎn)量為a(1±x)2，第n年的產(chǎn)量為a(1±x)n-1。即增長或降低一年為a(1±x)1，增長或降低二年為a(1±x)2，增長或降低n年為a(1±x)n。即數(shù)學(xué)方程模型：
原有量（1+增長率)n＝現(xiàn)有量原有量（1-降低率)n＝現(xiàn)有量 n表示增（減）的次數(shù)
例1、2009年我市實(shí)現(xiàn)國民生產(chǎn)總值為1376億元，計劃全市國民生產(chǎn)總值以后各年都以相同的增長率來實(shí)現(xiàn)，并且2011年全市國民生產(chǎn)總值為1726億元。
（1））求全市國民生產(chǎn)總值的年平均增長率？（2）求2010年至2012年全市三年可實(shí)現(xiàn)國民生產(chǎn)總值多少億元？
解析：利用以上數(shù)學(xué)模型增長或降低n年為a(1±x)n，
即原有量（1+增長率)n＝現(xiàn)有量這里是從2009年到2011年兩年增長，所以a=1376，n=2取+號。根據(jù)題意設(shè)年平均增長率為x，則列方程為
1376(1+x)2=1726.解這個方程得x=0.12(12%)，
再求第二問（從2010年到2012年三年總值）: 1376(1+12%)+1726+1376(1+12%)2=5200(億元).
三、利潤問題中的數(shù)量關(guān)系模型。
利潤＝每件的利潤×件數(shù) 即利潤＝（每件售價-每件進(jìn)價）×件數(shù)
其中價格的調(diào)整對產(chǎn)品的銷量的影響是這類問題的難點(diǎn)。一般銷量的影響量可以用下邊的通式計算：
銷量的影響量＝調(diào)整價÷單位調(diào)整×單位產(chǎn)品銷售影響量。
例：某電視機(jī)專賣店出售一種新面市的電視機(jī)，平均每天售出50臺，每臺盈利400元。為了擴(kuò)大銷售，增加利潤，專賣店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每臺電視機(jī)每降價10元，平均每天可多售出5臺。專賣店降價的第一天，獲利30000元。
問：（1）每臺電視機(jī)降價多少元？
（2）若你是店主，你準(zhǔn)備降價多少可使本店在銷售過程中獲得最大盈利？
解析：利用上面的利潤計算模型公式得 。
利潤＝每件的利潤×件數(shù)件數(shù)＝原件數(shù)+銷量的影響量
銷量的影響量＝調(diào)整價÷單位調(diào)整×單位產(chǎn)品銷售影響量。
公式利潤＝每件的利潤×（原件數(shù)+調(diào)整價÷單位調(diào)整×單位產(chǎn)品銷售影響量）
（1）設(shè)每臺電視機(jī)降價x元，則列方程得 30000=(400-x)(50+x÷10×5)
解這個方程得x1=100,x2=200
答：每臺電視機(jī)降價100元或200元.
（2）設(shè)所獲得w為，每臺電視機(jī)降價x元，得
w=(400-x)(50+x÷10×5)w=- 12(x-150)2+31250即當(dāng)x＝150時，w最大=31250
答：降價150元可使本店在銷售過程中獲得最大盈利31250元。
四、比賽與握手問題中的數(shù)量關(guān)系模型
比賽問題分為單循環(huán)賽和雙循環(huán)賽：
設(shè)共有x個隊參加了比賽，每個隊比賽的場數(shù)為（x-1）場
單循環(huán)賽：比賽的總場數(shù)為 12x（x-1）場；雙循環(huán)賽：比賽的總場數(shù)為x（x-1）場。
其中“握手問題”與單循環(huán)賽相同。 12x（x-1）次 x是參與握手的人數(shù)
例1、學(xué)校組織了一次籃球單循環(huán)比賽（每兩隊之間都進(jìn)行了一次比賽），共進(jìn)行了15場比賽，那么有幾個隊參加了這次比賽？
一、教學(xué)中存在的困惑
實(shí)際教學(xué)中，當(dāng)我們引導(dǎo)學(xué)生探究出題目中的相等關(guān)系后，再列出方程求解?？墒钦嬲茏龅竭@一步的同學(xué)實(shí)在是太少了，我們老師也不知講過多少遍，但結(jié)果仍讓我們多少感到有點(diǎn)的失落和遺憾，會的同學(xué)你不講他也自然會，不會的同學(xué)你講了他還是很難會。在我們農(nóng)村中學(xué)，這一點(diǎn)尤為突出。
我曾經(jīng)不知多少次的埋怨過我的學(xué)生，埋怨他們不認(rèn)真思考，不認(rèn)真學(xué)習(xí)。但是，當(dāng)我發(fā)現(xiàn)許多的孩子焦急的臉上掛著汗水的時候，我明白了，不會的原因并不完全是他們不努力學(xué)習(xí)，更重要的原因應(yīng)該是我還沒有認(rèn)識學(xué)生對應(yīng)用題的認(rèn)知規(guī)律，所以也就沒有為這些孩子提供高效的引領(lǐng)和破解的方法。在不斷的思考中我發(fā)現(xiàn)，對于基礎(chǔ)相對比較弱的學(xué)生來講，他們還處在“機(jī)械性”的解決應(yīng)用題的層面，或者根據(jù)已知條件簡單的列式，或者附帶小學(xué)的一些算數(shù)求解的方法，或者生搬硬套一些自己不成熟的經(jīng)驗。
二、突破策略
學(xué)生不學(xué)不會那是學(xué)生的原因，學(xué)生學(xué)了不會我想應(yīng)該是我的原因。于是，怎樣才能大面積的提高學(xué)生破解方程應(yīng)用題的能力和水平成了我一直思考的一個問題，鑒于學(xué)生基礎(chǔ)比價薄弱以及還處在“機(jī)械性”的解決應(yīng)用題的層面，所以，我嘗試應(yīng)用了《畫表填空列方程》的方法，來進(jìn)行應(yīng)用題的破解探究。
下面根據(jù)2008年我市的一道中考題為例，詳述具體的操作過程：
在某道路拓寬改造工程中，一工程隊承擔(dān)了24千米的任務(wù)。為了減少施工帶來的影響，在確保工程質(zhì)量的前提下，實(shí)際施工速度是原計劃的1.2倍，結(jié)果提前20天完成了任務(wù)，求原計劃平均每天改造道路多少千米？
先根據(jù)設(shè)未知數(shù)的方法，我們設(shè)原計劃平均每天改造道路x千米。
具體操作過程如下：
第一步：先畫一個三行四列的表格如下：
第二步：明晰“三要素”和“兩情況”，并填到表格中。
第三步：結(jié)合所設(shè)未知數(shù)，將已知的量對號入座到表格中。
第四步：根據(jù)“三要素”之間的關(guān)系，列出計劃和實(shí)際分別所需的時間。
三、教學(xué)反思
1.對于那些一見到應(yīng)用題就一籌莫展的同學(xué)來講，我們應(yīng)當(dāng)利用學(xué)生“機(jī)械性”操作的弱點(diǎn)，就讓他們機(jī)械性的按上面的五個步驟進(jìn)行操作，首先不管三七二十一先畫出一個“三行四列”的表格來，然后從條件中找到“三要素”和“兩情況”，接著將已知的量對號入座到表格中，然后根據(jù)“三要素”之間的關(guān)系將空缺的格子填出來，最后依據(jù)三要素中的某個量列出方程。
2.從步驟上看來，顯得有點(diǎn)復(fù)雜了，但在每相鄰的兩個步驟之間卻又是那么的簡單可行，其實(shí)，這正是因為步驟多才把復(fù)雜的題給分解了，而且這五個步驟可以讓學(xué)生機(jī)械性的記憶，然后就去將一些數(shù)據(jù)往里面套，套的時間長了，套的題目多了，學(xué)生自然而然的就領(lǐng)悟到老師的真正用意了，最后就可以脫離這個表格而能進(jìn)行快速的思考解決問題了。
3.并不是所有的題都必須用“三行四列”的表格來解決，有些應(yīng)用題是不必利用這種分析的方法的，那就要具體情況具體分析了。但是，筆者可以毫不隱瞞的告訴大家，我們經(jīng)歷的所有的方程或者是不等式（組）的應(yīng)用題中，絕大部分的題目都可以通過列表來分析，只是列的表不一定是“三行四列”而已，筆者即將在今后和大家再談其他的列方程的方法。
4.對于能通過列表找到方程的應(yīng)用題，也未必就非刻意的去列表，比如，本來根據(jù)自己的思考就能很快作答的應(yīng)用題，你非要通過畫表填空，豈不是畫蛇添足嗎？當(dāng)你處在“山重水復(fù)疑無路”的時候，可以借助一個“三行四列”的表格，進(jìn)行按部就班的思考，將會帶你走進(jìn)“柳暗花明又一村”的境地，這種做法還是很有必要的。
列方程解應(yīng)用題既是對學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決各種實(shí)際問題的技能技巧的一個檢驗，也是考查學(xué)生分析問題和解決問題能力的重要內(nèi)容。列方程解應(yīng)用題知識貫穿整個初中代數(shù)部分，從初一到初三都涉及列方程或列方程組解實(shí)際問題的內(nèi)容。應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是一個難點(diǎn)。由于應(yīng)用題涉及的數(shù)學(xué)知識較多，綜合性強(qiáng)，解法靈活，是開發(fā)學(xué)生智力、培養(yǎng)學(xué)生分析問題能力邏輯思維能力和創(chuàng)造能力的極好素材，因而它是近幾年中考和初中數(shù)學(xué)競賽中的熱門題型之一。多數(shù)學(xué)生對應(yīng)用題覺得無從下手，面對這些問題，教師應(yīng)該更進(jìn)一步地去研究和探討這方面的內(nèi)容。
列方程解應(yīng)用題要求學(xué)生知識面廣，基礎(chǔ)扎實(shí)、思維靈活，但這樣的學(xué)生畢竟較少，所以列方程解應(yīng)用題是我們初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)和焦點(diǎn)。在教學(xué)中如何提高學(xué)生列方程解應(yīng)用題的能力呢?我們不妨從以下幾個方面進(jìn)行探討：
1.建立學(xué)生學(xué)習(xí)的信心和耐心
列方程解應(yīng)用題來源于日常生活，我們可以利用一些生活中的實(shí)例來建立學(xué)生學(xué)習(xí)的信心和耐心。現(xiàn)代教育學(xué)家都持這樣的觀點(diǎn)：“學(xué)好科學(xué)文化基礎(chǔ)知識的首要問題是學(xué)生有決心和信心去學(xué)習(xí)?！敝灰寣W(xué)生將學(xué)習(xí)當(dāng)做自己的事，教育也就成功了一半。
2.抓牢四個步驟
列方程解應(yīng)用題一般要經(jīng)過四個步驟：(1)審題。讓學(xué)生認(rèn)真研讀題目、理解題意、分清題設(shè)和結(jié)論、明確目標(biāo)。（2）分析。尋找題目中的條件和結(jié)論之間的本質(zhì)聯(lián)系，從而探索解題的途徑。(3)解答。在把握好題目全局的基礎(chǔ)上寫出標(biāo)準(zhǔn)的解答過程，只有書寫認(rèn)真清楚，才能培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。(4)校對。解答完后要培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行回顧、檢驗與討論所得解答的習(xí)慣。因為這些問題對學(xué)生來講并不簡單，特別是對問題中隱含的某些限制條件，學(xué)生不一定能注意到。例如有這樣一題:一次考試出了25道題，在所給的四種答案中選定一種。答對一題得4分，不答或答錯一題倒扣1分，如果一個學(xué)生得90分，他答對了幾道題?一位學(xué)生是這樣做的：
解：設(shè)得90分的學(xué)生答對了X道題，由題意得方程：4X=90，解得X=22.5，即該學(xué)生答對了22.5道題。
另一位學(xué)生是這樣做的：
解：設(shè)得90分的學(xué)生答對了X道題，則不答或答錯25-X，由題意得方程：100-(25-X)=90，解得X=15，即該學(xué)生答對了15道題。
看上去上面的兩種做法都是正確的。其實(shí)只要我們回到題目中認(rèn)真分析一下不難發(fā)現(xiàn)兩種皆錯。第一個學(xué)生沒有搞清楚這個題目隱含的條件：要么答對，要么答錯或不答，即答案應(yīng)該是非負(fù)整數(shù)，所以出現(xiàn)22.5道題的錯誤答案。第二個學(xué)生雖然得出整數(shù)解15道題，但是他沒有從全局上把握好這個問題的實(shí)質(zhì)，如果這個學(xué)生再仔細(xì)分析一下的話就會發(fā)現(xiàn)許多破綻：首先答對一題得4分，答對15道題只有60分，其次還要扣除答錯或不答的10道題10分，這樣的話答對15道題只能得50分而不是90分。因此學(xué)生在列方程解應(yīng)用題時一定要抓牢四個步驟，以免出錯。
3.找準(zhǔn)等量關(guān)系
找準(zhǔn)等量關(guān)系是列方程解應(yīng)用題的核心，也是學(xué)生最無從下手的問題，因為它所涉及的知識面比較廣，如：物理公式、價格問題、銀行利率問題、溶液濃度問題、工程問題等。尋找等量關(guān)系的方法很多，包括譯式分析法、列表分析法、線示分析法逆推法、圖示分析法、層層分析法等。就初中數(shù)學(xué)中涉及的列方程求解應(yīng)用題的題型，這里著重討論前四種方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用。
（1）譯式分析法。所謂譯式分析法就是將題目中關(guān)鍵性的語言翻譯成代數(shù)式，把文字語言翻譯成代數(shù)語言，然后分析它們之間的關(guān)系的方法。翻譯的步驟一般是：(1)翻譯未知量(即設(shè)出未知量);(2)翻譯屬性量(即題目中的主要屬性)，用已知數(shù)和未知數(shù)組成的代數(shù)式表示所有的主要屬性;(3)翻譯等量(即同時表示一個屬性量的兩個代數(shù)值必定相等)。只要我們注意分析，正確理解題意，逐個進(jìn)行翻譯，當(dāng)翻譯完畢時，方程也就基本成形了。如:某市有42萬人口，計劃一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8%，農(nóng)村人口增加1.1%，這樣全市人口將增加1%，求這個市現(xiàn)在的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。
分析：本題有兩個未知數(shù)，城市人口與農(nóng)村人口。
屬性量及關(guān)系：①農(nóng)村人口=總?cè)丝?城鎮(zhèn)人口，②農(nóng)村人口×1.1%=總?cè)丝凇?%-城鎮(zhèn)人口×0.8%。
變化過程：①設(shè)現(xiàn)在城鎮(zhèn)人口是X萬，農(nóng)村人口為（42-X）萬。
②一年后城鎮(zhèn)人口增加(0.8%X)萬，農(nóng)村人口增加1.1%(42-X)萬，總?cè)丝谠黾?2×1%萬。
③由題意得方程：1.1%(42-X)=1%×42-0.8%X，解方程得X=14，則42-X=28。即城鎮(zhèn)人口是14萬，農(nóng)村人口是28萬。
（2）列表分析法。顧名思義，就是將題目中的已知量和未知量表示到表格中，利用表格分析出各種量之間的關(guān)系，最后列出方程的方法，這種方法學(xué)生比較容易理解和掌握。
（3）線示分析法。如相遇問題、追擊問題用線示分析法就比較直觀，使學(xué)生很快地找到等量關(guān)系的一種捷徑。
（4）逆推法。逆推法也叫做還原法，就是把問題發(fā)生的順序倒過來，用逆推的方法逐步還原來解答一些問題。解應(yīng)用問題，多數(shù)學(xué)生都習(xí)慣用直接解法，但對于直接解法比較困難的問題不妨使用逆推法，有時可能使復(fù)雜問題簡單化。
4.注意幾個事項
在找準(zhǔn)等量關(guān)系列出方程求解應(yīng)用題時，還要注意以下幾個問題：(1)未知數(shù)的作用;(2)對未知數(shù)補(bǔ)充條件的探討;(3)單位換算，有些問題中已知條件的單位不同時，必須先化相同;(4)方程兩邊的代數(shù)式表示同一個屬性量。
以上探討了關(guān)于列方程求解應(yīng)用問題的初步方法，盡管以上不能包括列方程解應(yīng)用問題的所有內(nèi)容，但在數(shù)學(xué)教學(xué)中有一定的價值，只要我們每一個數(shù)學(xué)教師都能去認(rèn)真研究教法，我們的數(shù)學(xué)教育教學(xué)水平一定會有大的改觀。
參考文獻(xiàn)：
［1］初中數(shù)學(xué)教材.
