序論：好文章的創(chuàng)作是一個(gè)不斷探索和完善的過(guò)程，我們?yōu)槟扑]十篇指數(shù)函數(shù)教案范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質(zhì)，帶來(lái)更深刻的閱讀感受。

篇（1）

一、中職冪函數(shù)教學(xué)單元的定位

1.課程定位

2.教案設(shè)計(jì)理念

在中職數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，絕大多數(shù)執(zhí)教教師發(fā)現(xiàn)，若沒有數(shù)學(xué)認(rèn)知和自我總結(jié)的實(shí)踐過(guò)程，而是僅僅以結(jié)論提供方式的記憶式學(xué)習(xí)，往往容易造成學(xué)生解題時(shí)的困惑，這與其尚未真正掌握冪函數(shù)規(guī)律密切相關(guān)，故而本教案設(shè)計(jì)的核心原則在于避免以往的“告訴”式，而是以建構(gòu)的理念，還學(xué)生以知識(shí)認(rèn)知與理解掌握的主動(dòng)權(quán)，鼓勵(lì)學(xué)生在自我探究的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)冪函數(shù)基本規(guī)律及其性質(zhì)、屬性，并同時(shí)結(jié)合教師的引導(dǎo)對(duì)知識(shí)進(jìn)行確認(rèn)與鞏固，通過(guò)反復(fù)的、源自于冪函數(shù)性質(zhì)規(guī)律各角度的練習(xí)，進(jìn)行冪函數(shù)深入學(xué)習(xí)。“授人以漁”的指導(dǎo)思想讓學(xué)生學(xué)會(huì)知識(shí)摸索與探求的基本學(xué)習(xí)規(guī)律和技巧。

3.教學(xué)基本情況分析

本節(jié)課程的授課對(duì)象為中職學(xué)生，基于其對(duì)函數(shù)一定量的基本概念與性質(zhì)認(rèn)知，函數(shù)研究思路與方法也有所熟悉，冪函數(shù)課程是結(jié)合并運(yùn)用已知指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)概念、性質(zhì)和圖象及結(jié)題運(yùn)用，開展教學(xué)的知識(shí)模塊。但由于剛步入中職，對(duì)初中學(xué)習(xí)階段的各種學(xué)習(xí)特點(diǎn)及習(xí)慣仍有所保留，而且能力和思維模式的發(fā)展仍屬于轉(zhuǎn)折成型期，所以教師須把握冪函數(shù)教學(xué)創(chuàng)新的體驗(yàn)、契機(jī)，對(duì)中職學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)理性思維和類比等思維的培育，并獲得冪函數(shù)教學(xué)的良好效果。

4.教材要求與目標(biāo)設(shè)定

冪函數(shù)作為改革教材的重點(diǎn)內(nèi)容，在現(xiàn)行中職類專業(yè)教學(xué)的數(shù)學(xué)教材中處于指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)之后，主要目的在于比對(duì)上述函數(shù)的復(fù)雜性之后，鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)進(jìn)行歸納分析總結(jié)。

本教案所涉課程的主要內(nèi)容為冪函數(shù)，主要以結(jié)合實(shí)例引用概括冪函數(shù)概念，在學(xué)生了解識(shí)記冪函數(shù)結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，了解其與指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的區(qū)別，并通過(guò)特殊簡(jiǎn)單函數(shù)的圖象比對(duì)進(jìn)行觀察、分析與總結(jié)。教學(xué)目標(biāo)為結(jié)合一次、二次和指對(duì)函數(shù)的特性對(duì)比，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的對(duì)比結(jié)合和相應(yīng)的分析歸納能力，并提升其數(shù)形結(jié)合、特殊上升到一般、歸納類比的邏輯思維。

二、教學(xué)案例實(shí)施過(guò)程

1.以學(xué)生業(yè)已熟悉的各類簡(jiǎn)單函數(shù)的引出，進(jìn)行學(xué)生函數(shù)思維的重新建立，如運(yùn)用（1）p=k，（2）S=x2；（3）V=ax3；（4）r=■；（5）v=s?t-1提問學(xué)生上述函數(shù)在其“形狀”變化上的一些共同特點(diǎn)，進(jìn)而引出y=x，y=x2，y=x3，y=■，y=■，y=■，再結(jié)合一定時(shí)間的學(xué)生討論，引導(dǎo)學(xué)生歸納冪函數(shù)的變化特征為以x為自變量，a為特定常數(shù)作為其指數(shù)所構(gòu)成的y=xa，這一函數(shù)稱為冪函數(shù)。經(jīng)過(guò)上述冪函數(shù)的引入教學(xué)，學(xué)生被自然地帶入對(duì)于類似函數(shù)的思考研究中，從而獲得一定程度的概念性認(rèn)知。而且該方法突出了本教案設(shè)計(jì)的“用教材而不是教教材，要?jiǎng)?chuàng)造性地使用教材”的教學(xué)創(chuàng)新原則，尊重教材的同時(shí)適當(dāng)創(chuàng)新教材展示與教學(xué)設(shè)計(jì)。

2.基于冪函數(shù)引入的課堂導(dǎo)入，使學(xué)生獲得冪函數(shù)理解認(rèn)知，并提示指出冪函數(shù)結(jié)構(gòu)中的x自變量位置，并以其與指數(shù)函數(shù)的位置進(jìn)行直觀對(duì)比，從而將復(fù)雜的冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)結(jié)構(gòu)易混淆問題變?yōu)楹?jiǎn)單且不易遺忘的形狀識(shí)記。同時(shí)，可以配合一定量的各種冪函數(shù)舉例辨別，分辨并總結(jié)各類冪函數(shù)，在此基礎(chǔ)上又對(duì)冪函數(shù)的形式進(jìn)一步探析。接著，對(duì)冪函數(shù)的一般形式進(jìn)行進(jìn)一步探析。當(dāng)然基于課程的教案創(chuàng)新改革必須秉持一貫的教學(xué)目標(biāo)及其實(shí)施，也不能一味地進(jìn)行脫離教學(xué)規(guī)律的教法創(chuàng)新。

總之，作為逐步發(fā)展的教學(xué)教法創(chuàng)新過(guò)程中的教學(xué)革新，都需要廣大教學(xué)工作者充分結(jié)合學(xué)生現(xiàn)實(shí)、教材現(xiàn)實(shí)、教學(xué)現(xiàn)實(shí)、教育發(fā)展現(xiàn)實(shí)，中職數(shù)學(xué)中的冪函數(shù)不能以簡(jiǎn)單的給定義、告性質(zhì)、做練習(xí)的模式進(jìn)行，更應(yīng)充分結(jié)合學(xué)生特點(diǎn)及其自有知識(shí)結(jié)構(gòu)體系與認(rèn)知能力特性，進(jìn)行綜合性創(chuàng)新。

參考文獻(xiàn)：

篇（2）

1焊接技術(shù)安全教學(xué)的必要性

《焊接技術(shù)》課程教學(xué)是從事機(jī)電行業(yè)的人必須熟練掌握的一門技術(shù)基本課程，通過(guò)學(xué)習(xí)可使學(xué)生了解焊接技術(shù)的安全、衛(wèi)生防護(hù)及焊接設(shè)備的基本知識(shí)，樹立安全文明生產(chǎn)意識(shí)，掌握常用的焊接工藝?yán)碚摵筒僮鞣椒?，以提高其電氣焊接操作技能，為今后走上工作崗位打下良好的基礎(chǔ)。職業(yè)技術(shù)學(xué)校的學(xué)生年紀(jì)小，接觸社會(huì)少，基礎(chǔ)知識(shí)差，安全意識(shí)差，而焊接技術(shù)又存在強(qiáng)弧光幅射、觸電、火災(zāi)、爆炸、中毒等危險(xiǎn)，所以在焊接課程的課堂教學(xué)與車間實(shí)訓(xùn)過(guò)程中，必須全面地、系統(tǒng)地講清楚手工焊接的危險(xiǎn)有害因素及安全防范措施，做好全面的、細(xì)致的、萬(wàn)無(wú)一失的現(xiàn)場(chǎng)實(shí)訓(xùn)工作，確保學(xué)生的身體健康及生命安全。

2焊接技術(shù)教學(xué)過(guò)程的的危險(xiǎn)性與原因

2.1焊接技術(shù)教學(xué)過(guò)程的的危險(xiǎn)性在焊接技術(shù)教學(xué)過(guò)程中，由于焊接常用電能或化學(xué)能轉(zhuǎn)化為熱能來(lái)加熱焊件，一旦對(duì)這些能源失去控制，就會(huì)產(chǎn)生一定的危險(xiǎn)性。焊接過(guò)程中的危險(xiǎn)因素主要有兩方面：影響焊接生產(chǎn)安全的危險(xiǎn)因素和影響人體健康的有害因素。

2.1.1影響焊接生產(chǎn)安全的危險(xiǎn)因素

（1）爆炸和火災(zāi)：是焊接過(guò)程中易發(fā)生的工傷事故，而且發(fā)生的火災(zāi)和爆炸事故主要是在氣焊、氣割、焊條電弧焊焊接過(guò)程中。焊接過(guò)程中之所以容易發(fā)生爆炸火災(zāi)事故，一方面是由于焊工需要經(jīng)常接觸可燃易爆物品；另一方面是由于焊工需要經(jīng)常接觸壓力容器和燃料容器，如乙炔發(fā)生器、氧氣瓶、液化石油氣瓶、乙炔瓶以及檢修補(bǔ)焊時(shí)的罐、塔、柜、槽、箱和管道等，而且在大多數(shù)情況下使用明火，因此容易構(gòu)成火災(zāi)和爆炸事故的條件。

（2）觸電：利用電能轉(zhuǎn)化為熱能的各種焊接方法都有觸電危險(xiǎn)。焊條電弧焊操作觸電的機(jī)會(huì)較多，尤其在容器、管道、鍋爐內(nèi)和鋼架上的操作，四周都是金屬導(dǎo)體，其觸電危險(xiǎn)性更大。特別是在高空作業(yè)中，觸電事故還易引起高空墜落的二次事故。

2.1.2影響人體健康的有害因素

焊接過(guò)程中產(chǎn)生的影響人體健康的有害因素可分為物理有害因素與化學(xué)有害因素兩大類。在焊接環(huán)境中可能存在的物理有害因素有電弧弧光、高頻電磁波、熱輻射、噪聲及放射線等；可能存在的化學(xué)有害因素有電焊煙塵和有害氣體等。在各種影響人體健康的有害因素中，由于接觸電焊煙塵的人數(shù)最多，因此電焊煙塵是影響最大的有害因素。長(zhǎng)期吸入電焊煙塵而發(fā)生的電焊工塵肺職業(yè)病，是當(dāng)前焊接安全衛(wèi)生工作中影響最大的一個(gè)主要問題。

2.2造成焊接技術(shù)危險(xiǎn)性的原因

（1）焊接切割作業(yè)時(shí)，尤其是氣體切割時(shí)，由于使用壓縮空氣或氧氣流的噴射，使火星、熔珠和鐵渣四處飛濺，當(dāng)作業(yè)環(huán)境中存在易燃、易爆物品或氣體時(shí)，就可能會(huì)發(fā)生火災(zāi)和爆炸事故。

（2）在高空焊接切割作業(yè)時(shí)，對(duì)火星所及的范圍內(nèi)的易燃易爆物品未清理干凈，作業(yè)人員在工作過(guò)程中亂扔焊條頭，作業(yè)結(jié)束后未認(rèn)真檢查是否留有火種。

（3）氣焊、氣割的工作過(guò)程中未按規(guī)定的要求放置乙炔發(fā)生器，工作前未按要求檢查焊（割）炬、橡膠管路和乙炔發(fā)生器的安全裝置。

（4）氣瓶存在制定方面的不足，氣瓶的保管充灌、運(yùn)輸、使用等方面存在不足，違反安全操作規(guī)程等。乙炔、氧氣等管道的制定、安裝有缺陷，使用中未及時(shí)發(fā)現(xiàn)和整改其不足；

（5）在焊補(bǔ)燃料容器和管道時(shí)，未按要求采取相應(yīng)措施。在實(shí)施置換焊補(bǔ)時(shí)，置換不徹底，在實(shí)施帶壓不置換焊補(bǔ)時(shí)壓力不夠致使外部明火導(dǎo)入等。

3如何加強(qiáng)焊接技術(shù)課程教學(xué)安全教育

3.1必須樹立安全的觀念和意識(shí)

安全的觀念和意識(shí)的樹立是提高安全教育效率和質(zhì)量的保障，也是焊接技術(shù)課程教學(xué)的首要內(nèi)容。只有讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到焊接技術(shù)的危險(xiǎn)性，讓他們切實(shí)認(rèn)識(shí)到樹立安全觀念和意識(shí)的必要性，才能促使他們認(rèn)真學(xué)習(xí)和理解焊接技術(shù)的安全措施，按照正確的使用方法進(jìn)行焊接技術(shù)的學(xué)習(xí)。

3.2場(chǎng)地教學(xué)中要聽從教師的指揮

學(xué)生進(jìn)入訓(xùn)練場(chǎng)地要聽從指導(dǎo)教師安排，應(yīng)注意作業(yè)環(huán)境的地溝、下水道內(nèi)有無(wú)可燃液體和可燃?xì)怏w，以及是否有可能泄漏到地溝和下水道內(nèi)可燃易爆物質(zhì)，以免由于焊渣、金屬火星引起災(zāi)害事故。進(jìn)入訓(xùn)練場(chǎng)地后未經(jīng)同意或未了解設(shè)備性能，不能私自亂動(dòng)場(chǎng)地內(nèi)的設(shè)備及其它物品。學(xué)生必須在掌握相關(guān)設(shè)備和工具的正確使用方法后，才能進(jìn)行操作。遇到問題立即向教師詢問，禁止在不熟悉的情況下進(jìn)行嘗試性操作。

3.3做好焊接技術(shù)的操作安全教育

（1）學(xué)生焊接操作前要檢查電器線路是否完好，二次線圈和外殼接地是否良好，檢查周圍環(huán)境，不能有易燃易爆物品。焊補(bǔ)燃料容器和管道時(shí)，應(yīng)結(jié)合實(shí)際情況確定焊補(bǔ)方法。

（2）開動(dòng)電焊機(jī)前檢查電焊夾鉗柄絕緣是否良好。電焊夾鉗不使用時(shí)，應(yīng)放在絕緣體上。推閘刀開關(guān)時(shí)，人體應(yīng)偏斜站立，并一次推足，然后開動(dòng)電焊機(jī)。停止時(shí)，要先關(guān)電焊機(jī)，再拉開閘刀開關(guān)。氧氣瓶嚴(yán)禁與油污接觸，不能強(qiáng)烈振動(dòng)，以免爆炸。操作時(shí)必須佩戴防護(hù)用具，以免弧光灼傷眼睛和皮膚。氣焊操作時(shí)，必須由指導(dǎo)教師調(diào)整好后，指揮學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)操作，嚴(yán)禁學(xué)生私自操作。

（3）高空焊接切割時(shí)，禁止亂扔焊條頭，對(duì)焊接切割作業(yè)下方應(yīng)進(jìn)行隔離，作業(yè)完畢應(yīng)做到認(rèn)真細(xì)致的檢查，確認(rèn)無(wú)火災(zāi)隱患后方可離開現(xiàn)場(chǎng)。應(yīng)使用符合國(guó)家有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)、規(guī)程要求的氣瓶，在氣瓶的貯存、運(yùn)輸、使用等環(huán)節(jié)應(yīng)嚴(yán)格遵守安全操作規(guī)程。

4結(jié)語(yǔ)

焊接技術(shù)安全教育應(yīng)是職業(yè)課程教學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容。焊接技術(shù)安全教育應(yīng)該充分根據(jù)焊接技術(shù)自身固有的特點(diǎn)，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和水平，然后制定出合理的安全教育的教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計(jì)出具體的安全教學(xué)的內(nèi)容和細(xì)節(jié)，從而有效提高焊接技術(shù)安全教育的質(zhì)量和效率。加強(qiáng)焊接技術(shù)安全教育有兩個(gè)重要環(huán)節(jié)：一是必須樹立安全意識(shí)，二是必須掌握安全操作程序。做好這兩點(diǎn)，是提高焊接技術(shù)安全教育效果的關(guān)鍵所在。

參考文獻(xiàn)

篇（3）

3.函數(shù)定義：函數(shù)就是定義在非空數(shù)集A，B上的映射，此時(shí)稱數(shù)集A為定義域，象集C={f(x)|x∈A}為值域。定義域，對(duì)應(yīng)法則，值域構(gòu)成了函數(shù)的三要素

4.相同函數(shù)的判斷方法：①定義域、值域;②對(duì)應(yīng)法則(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)

5.求函數(shù)的定義域常涉及到的依據(jù)為①分母不為0;②偶次根式中被開方數(shù)不小于0;③對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于零且不等于1;④零指數(shù)冪的底數(shù)不等于零;⑤實(shí)際問題要考慮實(shí)際意義⑥注意同一表達(dá)式中的兩變量的取值范圍是否相互影響

6.函數(shù)解析式的求法：

①定義法(拼湊)：②換元法：③待定系數(shù)法④賦值法7.函數(shù)值域的求法：

①換元配方法。如果一個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)或者經(jīng)過(guò)換元可以寫成二次函數(shù)的形式，那么將這個(gè)函數(shù)的右邊配方，通過(guò)自變量的范圍可以求出該函數(shù)的值域。②判別式法。一個(gè)二次分式函數(shù)在自變量沒有限制時(shí)就可以用判別式法去值域。其方法是將等式兩邊同乘以dx2+ex+f移項(xiàng)整理成一個(gè)x的一元二次方程，方程有實(shí)數(shù)解則判別式大于等于零，得到一個(gè)關(guān)于y的不等式，解出y的范圍就是函數(shù)的值域。

③單調(diào)性法。如果函數(shù)在給出的定義域區(qū)間上是嚴(yán)格單調(diào)的，那么就可以利用端點(diǎn)的函數(shù)值來(lái)求出值域

8.函數(shù)單調(diào)性的證明方法:

第一步：設(shè)x1、x2是給定區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)任意的值，且x1

第二步：作差¦(x1)-&brVBar;(x2)，并對(duì)“差式”變形，主要采用的方法是“因式分解”或“配方法”;

第三步：判斷差式¦(x1)-&brVBar;(x2)的正負(fù)號(hào)，從而證得其增減性

9、函數(shù)圖像變換知識(shí)

①平移變換：

形如：y=f(x+a)：把函數(shù)y=f(x)的圖象沿x軸方向向左或向右平移

|a|個(gè)單位，就得到y(tǒng)=f(x+a)的圖象。

形如：y=f(x)+a：把函數(shù)y=f(x)的圖象沿y軸方向向上或向下平移|a|個(gè)單位，就得到y(tǒng)=f(x)+a的圖象

②.對(duì)稱變換y=f(x)y=f(-x),關(guān)于y軸對(duì)稱

y=f(x)y=-f(x),關(guān)于x軸對(duì)稱

③.翻折變換

y=f(x)y=f|x|,(左折變換)

把y軸右邊的圖象保留，然后將y軸右邊部分關(guān)于y軸對(duì)稱

y=f(x)y=|f(x)|(上折變換)

把x軸上方的圖象保留，x軸下方的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱

10.互為反函數(shù)的定義域與值域的關(guān)系：原函數(shù)的定義域和值域分別是反函數(shù)的值域及定義域;

11.求反函數(shù)的步驟：①求反函數(shù)的定義域(即y=f(x)的值域)②將x,y互換，得y=f–1(x);③將y=f(x)看成關(guān)于x的方程，解出x=f–1(y)，若有兩解，要注意解的選擇;。

12.互為反函數(shù)的圖象間的關(guān)系：關(guān)于直線y=x對(duì)稱;

13.原函數(shù)與反函數(shù)的圖象交點(diǎn)可在直線y=x上，也可是關(guān)于直線y=x對(duì)稱的兩點(diǎn)

14.原函數(shù)與反函數(shù)具有相同的單調(diào)性

15、在定義域上單調(diào)的函數(shù)才具有反函數(shù);反之，并不成立(如y=1/x)

16.復(fù)合函數(shù)的定義域求法：

①已知y=f(x)的定義域?yàn)锳，求y=f[g(x)]的定義域時(shí)，可令g(x)ÎA，求得x的取值范圍即可。

②已知y=f[g(x)]的定義域?yàn)锳，求y=f(x)的定義域時(shí)，可令xÎA，求得g(x)的函數(shù)值范圍即可。

17.復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的值域求法：

首先根據(jù)定義域求出u=g(x)的取值范圍A，

在uÎA的情況下,求出y=f(u)的值域即可。

18.復(fù)合函數(shù)內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)性相同，則函數(shù)是增函數(shù);單調(diào)性不同則函數(shù)是減函數(shù)。增增、減減為增;增減、減增才減

①f(x)與f(x)+c(c為常數(shù))具有相同的單調(diào)性

②f(x)與c·f(x)當(dāng)c>0是單調(diào)性相同，當(dāng)c<0時(shí)具有相反的單調(diào)性

③當(dāng)f(x)恒不為0時(shí)，f(x)與1/f(x)具有相反的單調(diào)性

④當(dāng)f(x)恒為非負(fù)時(shí)，f(x)與具有相同的單調(diào)性

⑤當(dāng)f(x)、g(x)都是增(減)函數(shù)時(shí)，f(x)+g(x)也是增(減)函數(shù)

設(shè)f(x)，g(x)都是增(減)函數(shù)，則f(x)·g(x)當(dāng)f(x)，g(x)兩者都恒大于0時(shí)也是增(減)函數(shù)，當(dāng)兩者都恒小于0時(shí)是減(增)函數(shù)

19.二次函數(shù)求最值問題：根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸與區(qū)間關(guān)系進(jìn)行分析，

Ⅰ、若頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在給定的區(qū)間上，則

a>0時(shí)：在頂點(diǎn)處取得最小值，最大值在距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得;

a<0時(shí)：在頂點(diǎn)處取得最大值，最小值在距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得;

Ⅱ、若頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不在給定的區(qū)間上，則

a>0時(shí)：最小值在離對(duì)稱軸近的端點(diǎn)處取得，最大值在離對(duì)稱軸遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得;

a<0時(shí)：最大值在離對(duì)稱軸近的端點(diǎn)處取得，最小值在離對(duì)稱軸遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得

20.一元二次方程實(shí)根分布問題解法：

①將方程的根視為開口向上的二次函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

②從判別式、對(duì)稱軸、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值三方面分析限制條件

21.分式函數(shù)y=(ax+b)/(cx+d)的圖像畫法：

①確定定義域漸近線x=-d/c②確定值域漸近線y=a/c③根據(jù)y軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)確定曲線所在象限位置。

22.指數(shù)式運(yùn)算法則23.對(duì)數(shù)式運(yùn)算法則：

24.指數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)關(guān)系：

在第一象限內(nèi)，底數(shù)越大，圖像(逆時(shí)針方向)越靠近y軸。

25.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)關(guān)系：

在第一象限內(nèi)，底數(shù)越大，圖像(順時(shí)針方向)越靠近x軸。

26.比較兩個(gè)指數(shù)或?qū)?shù)的大小的基本方法是構(gòu)造相應(yīng)的指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)，若底數(shù)不相同時(shí)轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的指數(shù)或?qū)?shù)，還要注意與1比較或與0比較

27.抽象函數(shù)的性質(zhì)所對(duì)應(yīng)的一些具體特殊函數(shù)模型：

①f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)Þ正比例函數(shù)f(x)=kx(k¹0)

②f(x1+x2)=f(x1)·f(x2);f(x1-x2)=f(x1)÷f(x2)Þy=ax;

③f(x1•x2)=f(x1)+f(x2);f(x1/x2)=f(x1)-f(x2)Þy=logax

28.如果f(a+x)=f(b-x)成立，則y=f(x)圖像關(guān)于x=(a+b)/2對(duì)稱;

特別是，f(x)=f(-x)成立，則y=f(x)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱

29.a>f(x)恒成立Ûa>f(x)的最大值

篇（4）

(2)能應(yīng)用指數(shù)函數(shù)概念解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題；

(3)從圖像和解析式的不同角度研究指數(shù)函數(shù)性質(zhì)；

(4)培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、合作交流的意識(shí)，使學(xué)生獲得研究函數(shù)的規(guī)律和方法。

二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

(1)教學(xué)重點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)。

(2)教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)底數(shù)的分類，如何由圖像、解析式歸納指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。

三、教學(xué)過(guò)程

1.利用電子白板的特點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)有效的數(shù)學(xué)情景、提出問題、引入課題

電子白板投出：“某種細(xì)胞分裂的示意圖”(如圖1所示)， 提出問題：這種細(xì)胞每過(guò)30分鐘就由1個(gè)分裂成2個(gè)，設(shè)想經(jīng)過(guò)900分鐘(15個(gè)小時(shí))后會(huì)產(chǎn)生多少個(gè)細(xì)胞？

圖1

學(xué)生回答后，教師在白板上拖動(dòng)文本框，公布估算的數(shù)據(jù)：900分鐘后細(xì)胞總個(gè)數(shù)10.74億個(gè)。

教師提問：在上面這個(gè)問題中，細(xì)胞個(gè)數(shù)用y表示，分裂的次數(shù)用x表示，y與x之間的關(guān)系是什么？

學(xué)生得出公式y(tǒng)=2x( x∈N* )

問：如果經(jīng)過(guò)990分鐘(16.5小時(shí))后細(xì)胞總數(shù)是多少？

師生用白板計(jì)算：990分鐘后細(xì)胞總個(gè)數(shù)85.90億個(gè)。

教師：y=2x 就是我們今天要學(xué)習(xí)的指數(shù)函數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：利用白板創(chuàng)設(shè)問題情境，引出課題―指數(shù)函數(shù)，讓學(xué)生體驗(yàn)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知的興趣和欲望。

2.利用電子白板進(jìn)行師生互動(dòng)、探究新知，找出規(guī)律

(1)指數(shù)函數(shù)的定義

教師在電子白板上投影關(guān)系式 y=0.84x

敘述：我們?cè)诒菊麻_始的學(xué)習(xí)中，接觸到一個(gè)與y=2x 類似的關(guān)系式，y=0.84x。

問題：①y=2x 和y=0.84x這兩個(gè)解析式有什么共同特征？(是指數(shù)形式)

②它們能否構(gòu)成函數(shù)？(能)

③它們是否是我們已學(xué)過(guò)的函數(shù)類型？(否)

教師通過(guò)上述問題，引導(dǎo)學(xué)生觀察上述兩個(gè)函數(shù)的共同特點(diǎn)：指出指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式的特點(diǎn)，指數(shù)是自變量。用字母a代替底數(shù)，上述兩式可以表示成y=ax的形式。稱作指數(shù)函數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：人天生有模仿和嘗試的欲望，學(xué)生此前已經(jīng)學(xué)過(guò)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，這時(shí)用白板創(chuàng)設(shè)一個(gè)看似認(rèn)識(shí)，但又不同的函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生從具體問題、實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，在具體問題中抽象出共性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，建立概念。

(2)指數(shù)函數(shù)中底數(shù)的分類

問題：在指數(shù)函數(shù)中，底數(shù)可以為下列3類嗎？

①a＜0

②a=0

③a=1

你能寫出上述3種情況下的指數(shù)函數(shù)形式嗎？

學(xué)生上臺(tái)在電子白板上書寫幾個(gè)符合上述條件的指數(shù)函數(shù)形式。

教師引導(dǎo)學(xué)生分析上述底數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系，說(shuō)明一般情況下不研究這3種情況的指數(shù)函數(shù)。本課我們主要研究當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)的指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。

問學(xué)生： y＝2×3x是指數(shù)函數(shù)嗎？

教師分析：有些函數(shù)式貌似指數(shù)函數(shù)，實(shí)際上卻不是，如 y＝ax+k (a＞0且a≠1，k∈Z)；有些函數(shù)看起來(lái)不像指數(shù)函數(shù)，實(shí)際上卻是，如y=a-x(a＞0，且a≠1)，因?yàn)樗梢曰癁?y＝(a-1)x，其中a-1＞0，且a-1≠1。

例題講解：下列函數(shù)為指數(shù)函數(shù)的有 ② ③ 。

①y=x2 ； ②y=8x； ③y=(2a-1)x(且a≠1)；④ y=(-4)x。

學(xué)生在白板上用拖動(dòng)的方式，將②，③2個(gè)正確答案的序號(hào)拖到填空線上。

設(shè)計(jì)意圖：底數(shù)的分類是本節(jié)課的難點(diǎn)，只有認(rèn)識(shí)清楚底數(shù)a的特殊規(guī)定，才能理解指數(shù)函數(shù)的定義域；并為后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。讓學(xué)生通過(guò)白板寫出三種情況下的指數(shù)函數(shù)形式，然后指出問題，可使學(xué)生加深印象，再通過(guò)練習(xí)強(qiáng)化概念的理解和應(yīng)用。

(3)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)

教師在電子白板上投影(見表1)：

表1 分析y＝ax的圖像和性質(zhì)

請(qǐng)學(xué)生分成小組討論，完成上表中的圖象和解析式。

學(xué)生活動(dòng)：分成兩組，一組討論指數(shù)函數(shù)的解析式，另一組研究指數(shù)函數(shù)的圖像；然后進(jìn)行交流。

交流、總結(jié)：教師在電子白板上用幾何畫板軟件，改變參數(shù)a的值，追蹤y＝ax的圖像，讓學(xué)生在圖像的變化過(guò)程中，觀察圖像的變化規(guī)律和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。

師生共同總結(jié)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，教師邊總結(jié)邊在電子白板上分步顯示表1的圖像和解析式(見表2)。

表2 分析y＝ax的圖像和性質(zhì)

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生的自主探索、合作學(xué)習(xí)，變被動(dòng)為主動(dòng)，學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，讓學(xué)習(xí)過(guò)程成為一種自覺的行動(dòng)，從而加深學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)圖像和性質(zhì)的理解、記憶。

3.應(yīng)用典型例題理解概念

(1)練習(xí)：在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y=3x和 y=(1/3)x的大致圖像，并說(shuō)出這2個(gè)函數(shù)的性質(zhì)；

(2)例1：已知指數(shù)函數(shù)f(x)=ax的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn) (3,27)，求f(0)，f(1)，f(-3) 的值。

(3)例 2： 比較下列各題中兩個(gè)值的大小。

①1.82.5，1.83.2 ；②0.61.2 ，0.6-1.2 ；③1.50.6 ，0.61.5 。

根據(jù)本題，你能說(shuō)出確定一個(gè)指數(shù)函數(shù)需要什么條件嗎？

教師用電子白板講解、畫圖、板書，與學(xué)生互動(dòng)交流、小結(jié)。

設(shè)計(jì)意圖：例題設(shè)計(jì)圍繞所學(xué)的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生理清思路，在熟悉指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)構(gòu)造指數(shù)函數(shù)方法，利用單調(diào)性比較兩個(gè)冪的大小。解題后及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小結(jié)，總結(jié)在數(shù)學(xué)活動(dòng)中所獲取的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。

4.鞏固訓(xùn)練提升總結(jié)

(1)若函數(shù)y =(a－1)x 在R 上為減函數(shù)，則a的范圍為

(2)已知下列不等式，比較m，n 的大小。

① am

② am>an ( a＞1 )；

③ m=a2.5，n=a3(a＞0，a≠1 )。

設(shè)計(jì)意圖：檢查教學(xué)目標(biāo)是否達(dá)成，對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤，師生及時(shí)用白板進(jìn)行糾正。

四、教學(xué)反思

本節(jié)課的設(shè)計(jì)力求能體現(xiàn)新課程的教學(xué)理念，采用如下教學(xué)模式：創(chuàng)設(shè)情境學(xué)生活動(dòng)意義建構(gòu)形成概念知識(shí)運(yùn)用回顧反思。

利用白板工具，改變教學(xué)方法，創(chuàng)設(shè)情境，從不同的角度理解指數(shù)函數(shù)，通過(guò)對(duì)比總結(jié)得到指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，讓學(xué)生體會(huì)研究方法。

白板的使用，增強(qiáng)了課堂教學(xué)的交互性，操作性，學(xué)生在動(dòng)手操作的過(guò)程中學(xué)習(xí)知識(shí)，形成概念，探究方法，反饋練習(xí)，提高了教學(xué)的有效性。

參考文獻(xiàn)

篇（5）

三角函數(shù)章節(jié)是高中階段數(shù)學(xué)教材架構(gòu)體系的構(gòu)建“枝干”，同時(shí)也是教師講解、講授等實(shí)踐的重點(diǎn)和難點(diǎn)。三角函數(shù)章節(jié)內(nèi)容是初中階段函數(shù)知識(shí)內(nèi)容的“升華”，同時(shí)也是高等數(shù)學(xué)函數(shù)章節(jié)知識(shí)的“基石”，其作為一種基本初等函數(shù)，在解決生產(chǎn)、生活等實(shí)際問題中運(yùn)用廣泛。常言道：根基牢，地動(dòng)山搖穩(wěn)不倒。要達(dá)到科學(xué)、高效解決現(xiàn)實(shí)問題的目的，就必須“打基礎(chǔ)”、“重訓(xùn)練”，強(qiáng)化書本數(shù)學(xué)習(xí)題解答的有效訓(xùn)練。案例教學(xué)是不同階段數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的重點(diǎn)，同時(shí)也是其需要著力主攻的難點(diǎn)和薄弱點(diǎn)。而案例解答的現(xiàn)實(shí)意義和長(zhǎng)遠(yuǎn)功效已經(jīng)被教學(xué)工作者所共識(shí)。筆者現(xiàn)就三角函數(shù)章節(jié)案例的有效解答這一話題做探究和分析。

一、三角函數(shù)案例解答應(yīng)注重師生深入互通，體現(xiàn)雙向性。

教育運(yùn)動(dòng)學(xué)說(shuō)認(rèn)為，案例的講授是課堂實(shí)踐體系的重要環(huán)節(jié)，是課堂實(shí)踐進(jìn)程的重要部分。案例的講解應(yīng)該體現(xiàn)并傳承課堂教學(xué)的雙邊特點(diǎn)和雙向特性，師與生對(duì)等交流、生與生合作探討等多向、多邊活動(dòng)應(yīng)滲透并融入在其中進(jìn)程。但在實(shí)際的案例教學(xué)中，教者的個(gè)體講解或?qū)W習(xí)主體的自行探索的單向問題不同程度地存在。因此，在三角函數(shù)案例解答中，教師要正確處理好師生之間的關(guān)系，將自身的引導(dǎo)功效發(fā)揮出來(lái)，組織和引領(lǐng)高中生進(jìn)入到三角函數(shù)的案例講解研析中，緊扣問題要解決的要求、思路的確定及方法的甄別等都需要深入互動(dòng)、討論，在深入的雙邊互通中，達(dá)到探究實(shí)效、共進(jìn)互贏的期望。

如在“如圖所示，α、β分別是坐標(biāo)軸上的一個(gè)角，其度數(shù)分別是30°和300°，OM，ON分別表示角α和角β的終邊。（1）分別求出與α，β兩個(gè)終邊的相同角集合；（2）求出始邊在OM的位置，終邊在ON位置的所有角的集合?！卑咐v解中，教者實(shí)施互動(dòng)式講解活動(dòng)，主要圍繞在表示角的度數(shù)時(shí)，如何做好角度制或弧度制之間統(tǒng)一的話題，組織高中生開展解答問題活動(dòng)。教者根據(jù)所出示的數(shù)學(xué)問題及要求，在他們自主研析的基礎(chǔ)上，與他們圍繞思路的確定及過(guò)程的確認(rèn)進(jìn)行雙邊探討活動(dòng)，一起分析研究解題思路，一起辨析解題過(guò)程，并明確告知他們，找出在[-π，π]范圍內(nèi)與α、β都有相同的角度，再根據(jù)任意角的概念和角集合的表示法，可寫出終邊落在陰影部分（含邊界）時(shí)所有角的集合。同時(shí)在解決上述兩個(gè)問題時(shí)要切實(shí)注意角度制和弧度制之間的同一性問題。

二、三角函數(shù)案例解答應(yīng)注重講練融會(huì)貫通，體現(xiàn)發(fā)展性。

教者是主體進(jìn)程實(shí)踐中的“引路人”，探究疑惑的“釋惑者”，以及認(rèn)知探索的“推進(jìn)者”。教者的一項(xiàng)任務(wù)，就是通過(guò)有效、精準(zhǔn)的“導(dǎo)引”形式，有力地推動(dòng)他們開展探知和研析活動(dòng)。高中生在研究、分析、探尋三角函數(shù)案例的進(jìn)程中，會(huì)遇到許多“超越”自身學(xué)習(xí)實(shí)際能力的要求和標(biāo)準(zhǔn)。此時(shí)，教者就要發(fā)揮指導(dǎo)功效，在他們的解決三角函數(shù)案例的“練習(xí)”中，實(shí)施有效指導(dǎo)，弄清題意，理清層次，點(diǎn)明聯(lián)系，從而確保三角函數(shù)案例解題深入推進(jìn)。在此過(guò)程中，教師的“講解”和學(xué)生的“練習(xí)”二者不是分割、不銜接的，而是聯(lián)系、相貫通的，成為講練合一的有機(jī)整體。

問題：已知角α終邊上有一點(diǎn)P，它的坐標(biāo)為（x，3）（x≠0），并且cosα=3/10x，求sinα和tanα的值。

學(xué)生進(jìn)行解析實(shí)踐：根據(jù)題意可知，這是關(guān)于三角函數(shù)與方程方面的綜合性運(yùn)用題，涉及三角函數(shù)的定義等內(nèi)容。

教師適當(dāng)點(diǎn)撥：在該問題中，要求出sinα和tanα的值，還是要求出點(diǎn)P的坐標(biāo)x，同時(shí)要注意α所在象限的位置進(jìn)行討論。

學(xué)生圍繞解題要求進(jìn)行思路完善，并著手進(jìn)行該問題解答活動(dòng)。

教師強(qiáng)調(diào)：關(guān)鍵要注意α所在的象限不確定時(shí)要采取分類討論的方法采用研析。

高中生按照教師點(diǎn)撥和強(qiáng)調(diào)，開展合作提煉解題方法活動(dòng)，得出其解法。

三、三角函數(shù)案例解答應(yīng)注重解析方略提煉，體現(xiàn)策略性。

在解析上述案例基礎(chǔ)上，總結(jié)提煉環(huán)節(jié)，組織他們對(duì)剛才獲得的解題思路及過(guò)程進(jìn)行“回味”和“思索”，要求他們對(duì)其所確定的策略進(jìn)行提煉和總結(jié)。高中生結(jié)合所得思路及所解過(guò)程，認(rèn)識(shí)到：“該問題借助三角函數(shù)內(nèi)容，運(yùn)用到數(shù)形結(jié)合的思想策略。”高中生在教師有序引導(dǎo)下認(rèn)識(shí)到：“該問題解答中，通過(guò)函數(shù)的圖像性質(zhì)及三角函數(shù)函數(shù)區(qū)間的求解實(shí)現(xiàn)了有效解答，這其中蘊(yùn)含了數(shù)與形結(jié)合的解題方法。”

教師因地制宜，圍繞“數(shù)形結(jié)合”解題思想進(jìn)行專題講解活動(dòng)，對(duì)該解題思想的本質(zhì)及注意事項(xiàng)等進(jìn)行明確說(shuō)明，并向高中生指出其在三角函數(shù)章節(jié)中的運(yùn)用，并展示案例進(jìn)行鞏固強(qiáng)化，從而讓高中生對(duì)該解題思想有切身、具體、深刻的認(rèn)識(shí)和掌握，提高其解題技能和素養(yǎng)。

通過(guò)上述三角函數(shù)問題的講解活動(dòng)，高中生對(duì)解題思想方法運(yùn)用有了更深刻的認(rèn)知和運(yùn)用。教育學(xué)指出，教學(xué)的目的在于傳授技能及技巧，提高自主學(xué)習(xí)能力。因此，教師無(wú)論在三角函數(shù)章節(jié)，還是其他數(shù)學(xué)學(xué)科章節(jié)中，問題解答活動(dòng)的講解，應(yīng)注重對(duì)解題方法或策略的講授，對(duì)典型數(shù)學(xué)內(nèi)容的應(yīng)用，以題講解，讓他們通過(guò)親身探究、實(shí)踐和辨析，對(duì)其有感性認(rèn)知。同時(shí)借助于教師的科學(xué)專題講解，對(duì)其內(nèi)涵、特點(diǎn)及事項(xiàng)等方面深層次掌控，深層次地認(rèn)知和掌握知識(shí)，保證在其方法策略運(yùn)用中自如、高效、科學(xué)。

教師應(yīng)強(qiáng)化課堂活動(dòng)進(jìn)程中問題解答的組織和推動(dòng)，注重內(nèi)在能力素養(yǎng)的培養(yǎng)，將數(shù)學(xué)解題變?yōu)橹黧w前進(jìn)和發(fā)展的“跳板”，開展精心教學(xué)實(shí)踐。

篇（6）

在函數(shù)的復(fù)習(xí)課中，我創(chuàng)設(shè)了這樣的情境：圣誕節(jié)快到了，我們打算動(dòng)手設(shè)計(jì)賀卡送給親戚、朋友們，賀卡為矩形，寬x厘米，長(zhǎng)y厘米，賀卡上部分為正方形，上面畫上漂亮的圖案；下部分寫上祝福的話語(yǔ)，祝福話語(yǔ)需要的面積為64平方厘米.

二、提出問題

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)情境提供的信息，大膽地提出我們要研究的問題.

生1：這里有變量x和y，可是不知道它們是否具有函數(shù)關(guān)系？如果有，那么要求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

師：恩，很好！

（板書）問題1：求出y與 x的函數(shù)關(guān)系式. 生2：如果函數(shù)關(guān)系式寫得出，那么要求出該函數(shù)的定義域和值域.

師：對(duì)，定義域、值域是函數(shù)的重點(diǎn)，必須研究！

（板書）問題2：求出問題1中函數(shù)的定義域.

（板書）問題3：求出問題1中函數(shù)的值域.

生3：解析式、定義域、值域都研究了，我很想知道該函數(shù)的圖像.

師：也是，解析式、定義域、值域是函數(shù)的三要素，都是從代數(shù)的角度來(lái)研究的，我們?cè)購(gòu)男蔚慕嵌葋?lái)研究該函數(shù)，先畫出函數(shù)的圖像.

（板書）問題4：作出問題1中函數(shù)的圖像.

師：圖像也作好了的話，我們還可以研究它的哪些性質(zhì)呢？

學(xué)生紛紛討論，發(fā)言，教師小結(jié)：

問題5：研究問題1中函數(shù)的單調(diào)性.

問題6：研究問題1中函數(shù)的奇偶性.

在提出問題的環(huán)節(jié)中，學(xué)生積極思考，踴躍發(fā)言，總共提出了6個(gè)問題，下面，帶著6個(gè)問題進(jìn)行探究.

三、探究、解決問題

探究基于情境，始于問題，探究既是知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程，也是重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容. 學(xué)生在具體探究知識(shí)的過(guò)程中，形成探究精神、協(xié)作精神，提高科學(xué)素養(yǎng). 要想讓學(xué)生真正掌握知識(shí)，培養(yǎng)能力，教師要放手讓學(xué)生做，在做中體會(huì)，做中掌握，做中提高. 我分這樣幾步來(lái)完成這個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)的：

第一步：讓學(xué)生獨(dú)立解決所有的問題.

第二步：分成6個(gè)小組，讓學(xué)生在組內(nèi)交流結(jié)果.

第三步：每個(gè)小組派代表解答對(duì)應(yīng)序號(hào)的問題.

下面，我選取這個(gè)環(huán)節(jié)的幾個(gè)片段共同探討：

第2小組：開始，有人說(shuō)定義域?yàn)閧x|x ≠ 0}，后來(lái)，我們考慮了實(shí)際意義，x是寬度，必須大于0，所以定義域?yàn)椋?，+∞）.

第3小組：

所以函數(shù)的值域是[16，+∞）.

師：大家對(duì)兩種解法有什么評(píng)價(jià)呢？

學(xué)生討論激烈，最終發(fā)現(xiàn)癥結(jié)所在. 學(xué)生1的解答不夠嚴(yán)謹(jǐn)，還得檢驗(yàn)等號(hào)是否成立；而學(xué)生2的解答無(wú)破綻，完全正確.

師：無(wú)論用什么方法求值域，都不能忽視等號(hào)成立的條件. 如果等號(hào)不能成立的話，我們?cè)撛趺崔k呢？

生：還可以考慮函數(shù)的單調(diào)性.

師：不錯(cuò)，函數(shù)的單調(diào)性是求函數(shù)的值域的基本方法. 請(qǐng)第4組學(xué)生上來(lái)畫出函數(shù)的圖像，請(qǐng)第5組學(xué)生回答問題5，函數(shù)的單調(diào)性.

第4小組：畫出圖像.

第5小組：通過(guò)圖像觀察到函數(shù)在[0，8）上是減函數(shù)，在[8，+∞）上是增函數(shù).

師：借助圖形解決問題很有效，但不嚴(yán)謹(jǐn)，需要邏輯證明，要的是數(shù)與形的結(jié)合，即數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想. 研究函數(shù)的單調(diào)性的基本方法是定義法，關(guān)鍵是對(duì)f（x1） - f（x2）的化簡(jiǎn)、判斷符號(hào)，在化簡(jiǎn)中找到分界點(diǎn)，對(duì)定義域按單調(diào)性劃分，從而得到單調(diào)區(qū)間. 請(qǐng)大家課后完成，通過(guò)這種方法求出單調(diào)區(qū)間，同時(shí)求出函數(shù)的值域.

第6小組：根據(jù)圖像說(shuō)出函數(shù)的奇偶性，并按f（-x） = -f（x）進(jìn)行證明.

師：判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，首先考慮定義域，分析是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

反思：在“情境—問題”的教學(xué)模式中，創(chuàng)設(shè)情境的方法有很多種，教師要根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容，設(shè)置恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，激發(fā)學(xué)生的興趣，使學(xué)生的思維迅速進(jìn)入最活躍的狀態(tài). 在“情境—問題”的教學(xué)模式中，問題既是探究的開端，又是教學(xué)的主線，因此如何提出問題是關(guān)鍵. 教師可根據(jù)不同的教學(xué)，不同的角度、不同的層次引導(dǎo)學(xué)生提出問題. 在“情境—問題”的教學(xué)模式中，探究、解決問題是非常重要的環(huán)節(jié). 在學(xué)生自主探究問題的過(guò)程中，教師要善于引導(dǎo)，善于觀察、善于啟發(fā)、善于總結(jié).

【參考文獻(xiàn)】

[1]呂傳漢，汪秉彝.中小學(xué)數(shù)學(xué)情境與提出問題教學(xué)探究. 貴陽(yáng)：貴州人民出版社.

篇（7）

1.會(huì)用列表描點(diǎn)法畫反比例函數(shù)y=k/x（k≠0）的圖象；結(jié)合圖象初步理解雙曲線所在的象限，延伸性，對(duì)稱性，及y隨x的變化情況（增減性），體會(huì)其性質(zhì)；

2.逐步提高從函數(shù)圖象中獲取信息的能力，并利用其性質(zhì)解決實(shí)際問題.

二、過(guò)程與方法：

讓學(xué)生自己嘗試去畫y=4/x與y=-4/x圖象，在經(jīng)歷中逐步完善用描點(diǎn)法畫y=k/x（k≠0）的步驟；在畫圖過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生去觀察圖象，發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)，并能自己歸納概括出y=k/x（k≠0）的性質(zhì)，從而經(jīng)歷知識(shí)的歸納和探究過(guò)程，體會(huì)函數(shù)的三種表示方法相互轉(zhuǎn)化，對(duì)函數(shù)進(jìn)行認(rèn)識(shí)上的整合。

三、情感態(tài)度價(jià)值觀：

經(jīng)歷探究反比例函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程，滲透與他人交流，合作的意識(shí)和探究精神，培養(yǎng)學(xué)生探索、觀察、獨(dú)立思考的習(xí)慣，學(xué)會(huì)歸納總結(jié)，體會(huì)合作的喜悅，初步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系.

教學(xué)重點(diǎn)用反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

教學(xué)難點(diǎn)結(jié)合函數(shù)的圖象歸納反比例函數(shù)的性質(zhì)

問題與情景

活動(dòng)1

問題1：：還記得一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像

與性質(zhì)嗎？

那么反比例函數(shù)y=k/x（k≠0）的圖象會(huì)是什么樣？如何畫一個(gè)函數(shù)的圖像呢？――導(dǎo)入新課

師生行為

教師提出問題，學(xué)生獨(dú)立思考

教師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的定義，并體會(huì)了反比例函數(shù)的三種表達(dá)形式之間的聯(lián)系

本節(jié)課我們來(lái)研究一下反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì).

教師關(guān)注：

1?學(xué)生能否正確使用“描點(diǎn)法”的方法來(lái)畫圖像，能否說(shuō)出“描點(diǎn)法”的基本步驟：列表、描點(diǎn)、連線

2?引入課題，分析研究y=k/x（k≠0）

的圖像和性質(zhì)。通過(guò)畫y=4/x與y=-4/x的圖像展開問題。

設(shè)計(jì)意圖

通過(guò)舊知識(shí)導(dǎo)入，引導(dǎo)學(xué)生用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖像，并借助圖像分析性質(zhì)。體會(huì)分類討論、特殊到一般的解決問題的方法。

活動(dòng)2

1、畫出y=4/x與y=-4/x的圖像

1.學(xué)生在同一坐標(biāo)系中做出y=4/x與y=-4/x的圖像，各小組展示自己的作品。

教師引導(dǎo)學(xué)生交流：

1.如果在列表時(shí)所選取的數(shù)值不同，那么圖像的形狀是否相同？

2.連線時(shí)能否連成折線？為什么必須用光滑的曲線連接各點(diǎn)？

3.曲線的發(fā)展趨勢(shì)如何？

讓學(xué)生自己經(jīng)歷畫y=的圖像的過(guò)程，體會(huì)描點(diǎn)法畫圖象的基本步驟，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作能力，這一環(huán)節(jié)讓學(xué)生先在小組內(nèi)展示自己的作品，相互修正。讓學(xué)生體會(huì)主動(dòng)參與、合作探究的樂趣。

活動(dòng)3：探究y=4/x與y=-4/x的性質(zhì)。

引導(dǎo)學(xué)生觀察圖像，獨(dú)立思考并小組內(nèi)合作交流，分析，比較y=4/x與y=-4/x的性質(zhì)。在探究過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生從“形”加以觀察，能否從“數(shù)”加以解釋，重點(diǎn)關(guān)注：

1.學(xué)生能否用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述圖象特征，從而得出圖像是雙曲線。

2.學(xué)生是否能否得出k的不同取值時(shí)，圖像所在的象限不同，兩分支位于不同的象限。

3.學(xué)生是否注意到y(tǒng)隨x的變化情況是在每一象限內(nèi)根據(jù)k>0和k

4.為揭示函數(shù)變化規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生分別在每一象限圖像上任取兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）觀察當(dāng)x2>x1時(shí)y2與y1的關(guān)系

5.不可能與軸相交，也不可能與軸相交。這一結(jié)論既可以通過(guò)觀察圖像得出，也可分析函數(shù)表達(dá)式得出。當(dāng)x的值越來(lái)越接近于0時(shí)，絕對(duì)值y的值將逐漸變得很大；反之絕對(duì)值x的值變得非常大時(shí)，y的值將逐漸接近于0.圖像的兩個(gè)分支無(wú)限接近x軸和y軸，但永遠(yuǎn)不會(huì)與x軸y軸相交.

（1）讓學(xué)生自己去觀察去分析，過(guò)程讓學(xué)生自己去感受，結(jié)論讓學(xué)生自己去總結(jié)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生主動(dòng)參與、探究新知的目的

（2）體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想

（3）在學(xué)生探究，合作交流的過(guò)程中教師要適時(shí)的給予鼓勵(lì)，時(shí)刻給他們自信。

自我點(diǎn)評(píng)

根據(jù)教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)的分析，我首先引導(dǎo)學(xué)生回顧二次函數(shù)基本概念，用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象的方法，然后讓學(xué)生自己經(jīng)歷畫y=4/x與y=-4/x的圖象，然后讓學(xué)生小組展示作品，完善畫y=4/x與y=-4/x圖象。然后直觀觀察反比例函數(shù)的性質(zhì)。分組交流討論，教師點(diǎn)撥，最終歸納y=k/x（k≠0）的性質(zhì)。最后進(jìn)行了反饋練習(xí)，強(qiáng)化了知識(shí)。

探究過(guò)程中，我依托學(xué)習(xí)小組，讓學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般的探究過(guò)程，經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生、形成的過(guò)程；體會(huì)了數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想；感受到了自己動(dòng)手、主動(dòng)探索、合作交流學(xué)習(xí)方式的樂趣；提升學(xué)生自己觀察、分析、解決問題的能力

本節(jié)課突出學(xué)生在活動(dòng)過(guò)程中的參與意識(shí)、探究方式、表達(dá)能力及合作交流的意識(shí)，突出了學(xué)生的主體地位使學(xué)生在輕松愉快的氛圍中獲得數(shù)學(xué)的“思想、方法、能力、素質(zhì)”，同時(shí)獲得對(duì)數(shù)學(xué)的情感。教師在整節(jié)課的活動(dòng)中，扮演的是學(xué)生學(xué)習(xí)的參與者、合作者、指導(dǎo)者的角色。

不足之處是：

1.在組織小組活動(dòng)中有些亂，因而給學(xué)生的時(shí)間不是太多，抑制了學(xué)生思維的拓寬，提升。

2.在引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)提出問題時(shí)時(shí)機(jī)把握的不是太好。

3.學(xué)生的質(zhì)疑，提出問題的質(zhì)量需在平時(shí)的課堂教學(xué)中加強(qiáng)培養(yǎng)。

我的收獲：

篇（8）

第九講

三角函數(shù)的概念?誘導(dǎo)公式與三角恒等變換

2019年

1.(2019北京9)函數(shù)的最小正周期是

________.

2.(2019全國(guó)Ⅲ理12)設(shè)函數(shù)=sin()(>0),已知在有且僅有5個(gè)零點(diǎn),下述四個(gè)結(jié)論:

①在()有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)

②在()有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)

③在()單調(diào)遞增

④的取值范圍是[)

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是

A.

①④

B.

②③

C.

①②③

D.

①③④

3.(2019天津理7)已知函數(shù)是奇函數(shù),將的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為.若的最小正周期為,且,則

A.

B.

C.

D.

4.(2019全國(guó)Ⅱ理10)已知α∈(0,),2sin

2α=cos

2α+1,則sin

α=

A.

B.

C.

D.

5.(2019江蘇13)已知,則的值是_________.

6.(2019浙江18)設(shè)函數(shù).

(1)已知函數(shù)是偶函數(shù),求的值;

(2)求函數(shù)

的值域.

2010-2018年

一?選擇題

1.(2018全國(guó)卷Ⅲ)若,則

A.

B.

C.

D.

2.(2016年全國(guó)III)若

,則

A.

B.

C.1

D.

3.(2016年全國(guó)II)若,則(

)

A.

B.

C.

D.

4.(2015新課標(biāo)Ⅰ)

A.

B.

C.

D.

5.(2015重慶)若,則=

A.1

B.2

C.3

D.4

6.(2014新課標(biāo)Ⅰ)若,則

A.

B.

C.

D.

7.(2014新課標(biāo)Ⅰ)設(shè),,且,則

A.

B.

C.

D.

8.(2014江西)在中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為,若,則

的值為(

)

A.

B.

C.

D.

9.(2013新課標(biāo)Ⅱ)已知,則(

)

A.

B.

C.

D.

10.(2013浙江)已知,則

A.

B.

C.

D.

11.(2012山東)若,,則

A.

B.

C.

D.

12.(2012江西)若,則tan2α=

A.?

B.

C.?

D.

13.(2011新課標(biāo))已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊在直線上,則=

A.

B.

C.

D.

14.(2011浙江)若,,,,則

A.

B.

C.

D.

15.(2010新課標(biāo))若,是第三象限的角,則

A.

B.

C.2

D.-2

二?填空題

16.(2018全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù),則的最小值是_____.

17.(2018全國(guó)卷Ⅱ)已知,,則___.

18.(2017新課標(biāo)Ⅱ)函數(shù)的最大值是

.

19.(2017北京)在平面直角坐標(biāo)系中,角與角均以為始邊,它們的終邊關(guān)于軸對(duì)稱.若,則=___________.

20.(2017江蘇)若,則=

.

21.(2015四川)

.

22.(2015江蘇)已知,,則的值為_______.

23.(2014新課標(biāo)Ⅱ)函數(shù)的最大值為____.

24.(2013新課標(biāo)Ⅱ)設(shè)為第二象限角,若,則=___.

25.(2013四川)設(shè),,則的值是_____.

26.(2012江蘇)設(shè)為銳角,若,則的值為

.

三?解答題

27.(2018江蘇)已知為銳角,,.

(1)求的值;

(2)求的值.

28.(2018浙江)已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的非負(fù)半軸重合,它的終邊過(guò)點(diǎn).

(1)求的值;

(2)若角滿足,求的值.

29.(2017浙江)已知函數(shù).

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.

30.(2014江蘇)已知,.

(1)求的值;

(2)求的值.

31.(2014江西)已知函數(shù)為奇函數(shù),且,其中.

(1)求的值;

(2)若,求的值.

32.(2013廣東)已知函數(shù).

(1)

求的值;

(2)

若,求.

33.(2013北京)已知函數(shù)

(1)求的最小正周期及最大值;

(2)若,且,求的值.

34.(2012廣東)已知函數(shù),(其中,)的最小正周期為10.

(1)求的值;

(2)設(shè),,,求的值.

專題四

三角函數(shù)與解三角形

第九講

三角函數(shù)的概念?誘導(dǎo)公式與三角恒等變換

答案部分

2019年

1.解析:因?yàn)?

所以的最小正周期.

2.解析

當(dāng)時(shí),,

因?yàn)樵谟星覂H有5個(gè)零點(diǎn),所以,

所以,故④正確,

因此由選項(xiàng)可知只需判斷③是否正確即可得到答案,

下面判斷③是否正確,

當(dāng)時(shí),,

若在單調(diào)遞增,

則,即,因?yàn)?故③正確.

故選D.

3.解析

因?yàn)槭瞧婧瘮?shù),所以,.

將的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為,即,

因?yàn)榈淖钚≌芷跒?所以,得,

所以,.

若,即,即,

所以,.

故選C.

4.解析:由,得.

因?yàn)?所以.

由,得.故選B.

5.解析

由,得,

所以,解得或.

當(dāng)時(shí),,,

.

當(dāng)時(shí),,,

所以.

綜上,的值是.

6.解析(1)因?yàn)槭桥己瘮?shù),所以,對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有,

即,

故,

所以.

又,因此或.

(2)

.

因此,函數(shù)的值域是.

2010-2018年

1.B【解析】.故選B.

2.A【解析】由,,得,或

,,所以,

則,故選A.

3.D【解析】因?yàn)?所以,

所以,所以,故選D.

4.D【解析】原式=.

5.C

【解析】

=,選C.

6.C【解析】

知的終邊在第一象限或第三象限,此時(shí)與同號(hào),

故,選C.

7.B【解析】由條件得,即,

得,又因?yàn)?,

所以,所以.

8.D【解析】=,,上式=.

9.A【解析】因?yàn)?

所以,選A.

10.C【解析】由可得,進(jìn)一步整理可得,解得或,

于是.

11.D【解析】由可得,,

,答案應(yīng)選D.

另解:由及,可得

,而當(dāng)時(shí)

,結(jié)合選項(xiàng)即可得.

12.B【解析】分子分母同除得:,

13.B【解析】由角的終邊在直線上可得,,

.

14.C【解析】

,而,,

因此,,

則.

15.A【解析】

,且是第三象限,,

.

16.【解析】解法一

因?yàn)?

所以,

由得,即,,

由得,即

或,,

所以當(dāng)()時(shí),取得最小值,

且.

解法二

因?yàn)?

所以

,

當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),

所以,

所以的最小值為.

17.【解析】,,

①,

②,

①②兩式相加可得

,

.

18.1【解析】化簡(jiǎn)三角函數(shù)的解析式,則

,

由可得,當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值1.

19.【解析】角與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱,所以,

所以,;

.

20.【解析】.

21.【解析】.

22.3【解析】.

23.1【解析】

.,所以的最大值為1.

24.【解析】,可得,,

=.

25.【解析】

,則,又,

則,.

26.【解析】

因?yàn)闉殇J角,cos(=,sin(=,

sin2(cos2(,

所以sin(.

27.【解析】(1)因?yàn)?,所以.

因?yàn)?所以,

因此,.

(2)因?yàn)闉殇J角,所以.

又因?yàn)?所以,

因此.

因?yàn)?所以,

因此,.

28.【解析】(1)由角的終邊過(guò)點(diǎn)得,

所以.

(2)由角的終邊過(guò)點(diǎn)得,

由得.

由得,

所以或.

29.【解析】(Ⅰ)由,,

得.

(Ⅱ)由與得

所以的最小正周期是

由正弦函數(shù)的性質(zhì)得

,

解得,

所以的單調(diào)遞增區(qū)間是().

30.【解析】(1),

;

(2)

.

31.【解析】(1)因?yàn)槭瞧婧瘮?shù),而為偶函數(shù),所以為奇函數(shù),又得.

所以=由,得,即

(2)由(1)得:因?yàn)?得

又,所以

因此

32.【解析】(1)

(2)

所以,

因此=

33.【解析】:(1)

所以,最小正周期

當(dāng)(),即()時(shí),.

(2)因?yàn)?所以,

因?yàn)?所以,

所以,即.

34.【解析】(1).

篇（9）

的《從感官到思維的體驗(yàn)》和2015年第1期課堂觀察版刊登的《通過(guò)“實(shí)驗(yàn)型學(xué)習(xí)”建立數(shù)學(xué)概念》，都呈現(xiàn)了上海市金匯高級(jí)中學(xué)的蔣云鵬老師關(guān)于“實(shí)驗(yàn)型學(xué)習(xí)”的思考與探索。文章登出后受到很多讀者的歡迎，很多讀者覺得“實(shí)驗(yàn)型學(xué)習(xí)”這一提法內(nèi)涵豐富、啟發(fā)性強(qiáng)，不僅僅是簡(jiǎn)單的CAI。因此，從本期開始，我們會(huì)在“專題研究”欄目中陸續(xù)呈現(xiàn)一些這方面的研究成果，以蔣云鵬老師的典型案例研究為主

。當(dāng)然，也希望廣大讀者踴躍來(lái)稿，積極參與研究、討論。

蔣云鵬

（上海市金匯高級(jí)中學(xué)，201103）

一、函數(shù)教學(xué)中的主要困難及其成因

函數(shù)作為整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心內(nèi)容，在教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施中，

主要存在以下幾個(gè)

難以把握或解決的問題：第一，函數(shù)概念的建立和形成比較困難，學(xué)生所學(xué)習(xí)的函數(shù)知識(shí)往往比較膚淺、零散，沒有達(dá)到和抓住本質(zhì)；第二，

缺乏對(duì)函數(shù)各種表達(dá)方式的價(jià)值分析及優(yōu)勢(shì)比較，特別是忽視函數(shù)對(duì)應(yīng)值列表的過(guò)程；第三，函數(shù)圖像的產(chǎn)生過(guò)程缺失或冗長(zhǎng)。

上述困難從表面上看，都是由于教學(xué)時(shí)間不夠所導(dǎo)致的；

但實(shí)際上，

都是因?yàn)楹鲆暳恕皩?shí)驗(yàn)型學(xué)習(xí)”的基本思路，或沒掌握“實(shí)驗(yàn)型學(xué)習(xí)”的主要策略。

傳統(tǒng)的函數(shù)教學(xué)，一般都是先給出某類

函數(shù)的

具體定義（解析式），再繪制其大致圖像，然后根據(jù)圖像說(shuō)明其性質(zhì)，

此后大部分時(shí)間則用于解題。在這樣的教學(xué)中，可感實(shí)例的呈現(xiàn)多數(shù)比較匱乏，對(duì)應(yīng)值列表常常作為繪制圖像的一個(gè)步驟被一帶而過(guò)，繪制圖像的過(guò)程往往比較粗糙。

有些教師認(rèn)為，這些內(nèi)容并不重要，只要講解一下，無(wú)需太多的體驗(yàn)與感悟，

也沒有必要花時(shí)間理解與鞏固；多數(shù)教師則是出于無(wú)奈，只能把函數(shù)的意義、列表、繪圖這些核心內(nèi)容

講解得“半生不熟”。

“實(shí)驗(yàn)型學(xué)習(xí)”的突出特點(diǎn)是：呈現(xiàn)大量的事實(shí)材料和現(xiàn)象，使學(xué)習(xí)主體

通過(guò)視覺感受對(duì)應(yīng)數(shù)值的計(jì)算、變化、聯(lián)系以及數(shù)值轉(zhuǎn)化成點(diǎn)的動(dòng)態(tài)變化，體會(huì)那些解釋不清或難以言表的“演繹”，從而經(jīng)歷學(xué)習(xí)的全部過(guò)程，并產(chǎn)生真實(shí)的深度體驗(yàn)；

同時(shí)，將大量的精確計(jì)算、描點(diǎn)這類沒有思維含量的操作交由計(jì)算機(jī)在幾秒鐘內(nèi)完成，從而留出時(shí)間用于對(duì)大量現(xiàn)象進(jìn)行觀察、思考和分析。

因而“實(shí)驗(yàn)型學(xué)習(xí)”能有效地解決上述困難。

二、函數(shù)教學(xué)的典型案例

【案例1】函數(shù)概念起始課

課始，教師提問：“誰(shuí)知道自己家汽車的耗油量？這個(gè)數(shù)量是怎樣測(cè)試出來(lái)的？”學(xué)生議論并大致回答后，教師出示表1，并說(shuō)明：“表中是某輛車在從上海駛往南京的過(guò)程中記錄下來(lái)的數(shù)據(jù)，你能知道該車的用油量嗎？你能填寫表中的空格嗎？”學(xué)生嘗試填寫后，教師寫出關(guān)系式y(tǒng)=12/100x，并讓學(xué)生寫出汽車行駛120千米、270千米時(shí)的用油量。學(xué)生嘗試計(jì)算后，教師總結(jié)道：“用油量y隨著汽車行駛路程x的變化而變化，對(duì)于每一個(gè)x的值，都能找到一個(gè)確定的y的值與之對(duì)應(yīng)，這種一個(gè)變量x的變化確定另一個(gè)變量y的變化的關(guān)系，

稱為函數(shù)關(guān)系?！?/p>

接著，教師舉例道：“再比如，一條線段的長(zhǎng)度r的變化確定了以此線段為半徑的圓的面積S的變化?！比缓?，教師打開幾何畫板，作出一個(gè)圓；隨著教師拖動(dòng)圓的半徑，計(jì)算機(jī)自動(dòng)呈現(xiàn)了不同的半徑值，并計(jì)算出不同的半徑值對(duì)應(yīng)的圓的面積值，同時(shí)生成了對(duì)應(yīng)值表（如圖1）。由此，教師總結(jié)道：“同樣，S與r的關(guān)系也稱為函數(shù)關(guān)系，我們稱r為自變量，S是r的函數(shù)?！?/p>

此后，教師又舉例道：“再比如，某天某地的氣溫T隨時(shí)間t的變化而變化，正方體的體積隨棱長(zhǎng)的變化而變化……”然后，教師再請(qǐng)學(xué)生舉例說(shuō)明自己所知道的函數(shù)關(guān)系……

【案例2】二次函數(shù)概念起始課

……在介紹了二次函數(shù)的定義后，教師提問：“如何畫出函數(shù)y=x2的圖像？”學(xué)生回答：“列表、描點(diǎn)、連線。”然后，教師要求學(xué)生在事先準(zhǔn)備好的學(xué)習(xí)單（其中列有表2）上進(jìn)行填表、描點(diǎn)、連線。

填表、描點(diǎn)都進(jìn)行得很順利，但是，在連線時(shí)部分學(xué)生將所描的點(diǎn)按順序用直尺連成了折線。教師看到后糾正說(shuō)：“我們?cè)趯W(xué)習(xí)反比例函數(shù)時(shí)曾強(qiáng)調(diào)過(guò)，要用光滑的曲線連線，畫成幾條線段的都是錯(cuò)誤的，請(qǐng)同學(xué)們更正并牢記?！苯又?，教師打開幾何畫板，利用“繪制新函數(shù)”功能，直接繪制出y=x2的圖像，讓學(xué)生對(duì)照。

三、解決函數(shù)教學(xué)中主要困難的思路和策略

（一）通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)漸進(jìn)地建構(gòu)函數(shù)的意義

函數(shù)概念形成的關(guān)鍵是將研究的對(duì)象由靜止、不變的現(xiàn)象轉(zhuǎn)移到運(yùn)動(dòng)、變化的現(xiàn)象上，將注意力由單個(gè)常量的大小轉(zhuǎn)移到兩個(gè)變量的關(guān)系上。由于學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中長(zhǎng)期面對(duì)的是獨(dú)立不變的量（常數(shù)），缺乏觀察變化情況、思考聯(lián)系情況的經(jīng)歷和體驗(yàn)，因此，要實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)變是比較困難的。

案例1的設(shè)計(jì)者正是基于這種考慮，在引入函數(shù)概念時(shí)，運(yùn)用了“實(shí)驗(yàn)型學(xué)習(xí)”的基本思路和策略：不急于下準(zhǔn)確定義，而是通過(guò)學(xué)生已熟知的、經(jīng)歷過(guò)的（耗油量）問題，或當(dāng)場(chǎng)看得到的、能經(jīng)歷的（圓的半徑與面積）現(xiàn)象，讓學(xué)生通過(guò)想象或感官去體驗(yàn)兩個(gè)變量的關(guān)系；而且不惜舉出大量的例子（包括學(xué)生自己舉例）來(lái)說(shuō)明這種關(guān)系，目的就是讓學(xué)生增加一些經(jīng)歷，加深一些體驗(yàn)，產(chǎn)生“變量成對(duì)”的印象，為概念的形成奠定基礎(chǔ)。

此外，案例1的設(shè)計(jì)者在這節(jié)函數(shù)概念起始課中，自始至終都沒有給函數(shù)下精確的定義，而力求使學(xué)生在經(jīng)過(guò)對(duì)大量的實(shí)例的觀察、思考后，在所歸納出的“描述性定義”的輔助下，大致形成對(duì)函數(shù)意義的初步認(rèn)識(shí)，即意識(shí)到：（1）兩個(gè)變量之間會(huì)有確定的關(guān)系，一個(gè)變量會(huì)隨另一個(gè)變量的變化而變化；（2）由于變量表示的事物有特定的意義，所以變量有一定的限制范圍；(3)兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)值可以利用表格列出；(4)其中的規(guī)律可以利用代數(shù)式表達(dá)，從而簡(jiǎn)化和精準(zhǔn)。

這種通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)（豐富直接的感官體驗(yàn)引發(fā)的思維活動(dòng)）漸進(jìn)地構(gòu)建新概念的意義的做法，因符合學(xué)生本身的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)和認(rèn)知習(xí)慣而顯得自然，因在大量的可感事實(shí)的基礎(chǔ)上獲得認(rèn)識(shí)而顯得合理，是解決函數(shù)概念教學(xué)困難的有效思路和策略。

（二）突出對(duì)應(yīng)值列表的過(guò)程，認(rèn)清各種表示方式的價(jià)值和優(yōu)勢(shì)

對(duì)應(yīng)情況（值）列表是一般人實(shí)際生活、工作和研究中最常用、最習(xí)慣的方法，也是最直接、最容易理解的函數(shù)表達(dá)形式。學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)出現(xiàn)的概念模糊、思路狹隘、方法呆板等問題，往往都與忽視對(duì)應(yīng)值列表的過(guò)程有關(guān)。很多學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)很長(zhǎng)時(shí)間后，

仍然不知道各種函數(shù)的圖像從何而來(lái)，而僅僅記住了它們的樣子，導(dǎo)致了因果關(guān)系混亂。而且，很多學(xué)生在后面學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)，也不會(huì)列出項(xiàng)數(shù)與其對(duì)應(yīng)值的表格以從中找到規(guī)律，甚至連“數(shù)列也是函數(shù)”“用函數(shù)方法研究數(shù)列問題”都需要專門花時(shí)間來(lái)教學(xué)。這些顯然都是忽視函數(shù)對(duì)應(yīng)值列表的過(guò)程而造成的惡果。

案例1的設(shè)計(jì)者正是基于這種考慮，每舉一個(gè)例子后，都進(jìn)行了對(duì)應(yīng)值列表（實(shí)驗(yàn)）——其中有些數(shù)據(jù)是間接知道的，有些數(shù)據(jù)是借助計(jì)算機(jī)直接測(cè)量、計(jì)算出來(lái)的。這給學(xué)生的感覺是，他們看到的都是事實(shí)，沒有強(qiáng)加的成分。最關(guān)鍵的是，對(duì)應(yīng)值列表清晰地反映出變量變化的規(guī)律——如增還是減（單調(diào)性）、有無(wú)對(duì)稱特點(diǎn)（奇偶性）、有無(wú)重復(fù)特點(diǎn)（周期性）等，都一目了然。對(duì)列表中數(shù)據(jù)的觀察、分析充分了，圖像的輪廓也就自然地在頭腦中形成了；而經(jīng)過(guò)分析、歸納發(fā)現(xiàn)的圖像，無(wú)須強(qiáng)記，就會(huì)牢牢地固著在記憶中。這種主動(dòng)的發(fā)現(xiàn)，比記住圖像后反過(guò)來(lái)“利用圖像說(shuō)明性質(zhì)”，學(xué)習(xí)效果要好得多。同時(shí)，

從思想方法的角度看，各種函數(shù)的部分特殊（自變量取正整數(shù)）對(duì)應(yīng)值列表過(guò)程，實(shí)際上就是各種數(shù)列的研究過(guò)程。此過(guò)程處理得好，數(shù)列的學(xué)習(xí)就會(huì)容易得多，方法就會(huì)通透得多。

實(shí)際上，“實(shí)驗(yàn)型學(xué)習(xí)”能使函數(shù)對(duì)應(yīng)值列表自然、高效地實(shí)現(xiàn)，并讓學(xué)生自主地進(jìn)行觀察、分析，因而，特別有利于學(xué)生認(rèn)清函數(shù)各種表達(dá)方式（列表、圖像、解析式）之間的關(guān)系，并感受到對(duì)應(yīng)值列表在實(shí)際研究中的必要性和優(yōu)勢(shì)。

（三）優(yōu)化繪制圖像的過(guò)程

如何描繪圖像，一組對(duì)應(yīng)變量由數(shù)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)體現(xiàn)了什么思想，圖像為什么是“光滑的曲線”而非折線等，都是函數(shù)教學(xué)中極為重要的問題，事關(guān)整個(gè)函數(shù)思想和方法的形成。而這些問題在二次函數(shù)的教學(xué)中尤為突出，因?yàn)槎魏瘮?shù)是初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與核心內(nèi)容，也是初中生第一次比較系統(tǒng)地借助函數(shù)圖像研究函數(shù)性質(zhì)的內(nèi)容。

案例2的設(shè)計(jì)者似乎也注意到了這些問題，但其具體的做法有以下幾點(diǎn)不妥：（1）在繪制圖像前，沒有讓學(xué)生明白圖像的意義，把握操作的過(guò)程。事先列表并規(guī)定了5個(gè)特殊的自變量值，忽視了學(xué)生的思考動(dòng)因，限制了學(xué)生的思考空間。如果讓學(xué)生自己取值，他們未必會(huì)只取這5個(gè)值，也未必會(huì)取得這么均勻、對(duì)稱；而只有出現(xiàn)多種取值情況，才能比較、反襯出以上取值方法的合理性。（2）糾正學(xué)生錯(cuò)誤的方法不妥，問題

的關(guān)鍵出在講解反比例函數(shù)時(shí)，只“強(qiáng)調(diào)”了要用光滑的曲線連線，而沒有解釋為什么?！爸v了多次，仍記不住”是許多教師共同的煩惱；而學(xué)生之所以總是記不住，就是因?yàn)樗麄兛偸遣恢馈盀槭裁础?，卻要勉強(qiáng)地“記住”。（3）利用幾何畫板直接繪制出y=x2的圖像，與在黑板上手繪圖像、利用掛圖或PPT等展示圖像都一樣，沒有呈現(xiàn)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程，只是告知預(yù)設(shè)的結(jié)果，使學(xué)生沒有思考的機(jī)會(huì)，更沒有質(zhì)疑的余地，被動(dòng)接受，當(dāng)然難學(xué)難記。

結(jié)合上述分析，可以對(duì)案例2作如下改進(jìn)和優(yōu)化：首先，利用幾何畫板設(shè)置自變量x，計(jì)算出y=x2，然后，順次選取

x、x2，列出動(dòng)態(tài)表格。這里，教師可以通過(guò)鍵盤任意輸入不同的x的值，x2的對(duì)應(yīng)值將自動(dòng)生成在動(dòng)態(tài)表格中（如果硬件條件許可，學(xué)生可以在自己的移動(dòng)終端上進(jìn)行這些及以下操作）。當(dāng)感覺表格中的數(shù)據(jù)夠了時(shí)，就可以利用“繪制表格數(shù)據(jù)”功能將表格中的所有點(diǎn)（x，x2）繪制在坐標(biāo)系中。此時(shí)可讓學(xué)生觀察點(diǎn)的分布情況，并嘗試說(shuō)出（或畫出）函數(shù)的圖像。如果出現(xiàn)折線圖，教師則只需讓

篇（10）

授課教師可根據(jù)教材知識(shí)的內(nèi)容，將知識(shí)在教案中轉(zhuǎn)化成其他問題的形式，讓學(xué)生融入一種與知識(shí)相關(guān)問題的情景中，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)問題的觀察思考，試著尋找適合的不同方法，從而積累所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，豐富感性認(rèn)識(shí)，在問題情境中逐步提高解決問題的能力。教學(xué)中提出與所學(xué)知識(shí)點(diǎn)相關(guān)的問題，突出重點(diǎn)，啟發(fā)思考。在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中引導(dǎo)教學(xué)法的運(yùn)用，不僅可以增強(qiáng)學(xué)生的求知欲，而且可以促進(jìn)課堂的有序進(jìn)行，提高課堂教學(xué)效率。

例如，在講“函數(shù)模型及其應(yīng)用”一課時(shí)，教師提供函數(shù)和方程的相關(guān)公式及相應(yīng)的圖像等，通過(guò)類比，討論提出大膽猜想。通過(guò)相應(yīng)的例題使學(xué)生感受建立函數(shù)的方法，首先就是結(jié)合圖形，通過(guò)數(shù)形達(dá)到解決函數(shù)問題的目的，同時(shí)解決了函數(shù)和方程的區(qū)別問題。

二、學(xué)生為主導(dǎo)，引入數(shù)形結(jié)合教學(xué)思想

教材的研讀需要達(dá)到把握課本基礎(chǔ)知識(shí)，教師培養(yǎng)學(xué)生研讀的基本技能，就需要重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，更應(yīng)注重對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)，將這些思想引入課堂，學(xué)生把握了這些思想對(duì)今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用將產(chǎn)生深刻的影響。對(duì)于高中生不應(yīng)該只是對(duì)當(dāng)前知識(shí)的學(xué)習(xí)，更應(yīng)該將解決問題的思想拓展到其他問題，從高中階段就重視引入數(shù)學(xué)思想的教學(xué)方法，將為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的解題的思想基礎(chǔ)。

例如，在講“函數(shù)與方程”的時(shí)候，從問題的數(shù)量關(guān)系入手，根據(jù)學(xué)生的預(yù)習(xí)情況，將問題轉(zhuǎn)化為不同的設(shè)問，可將未知數(shù)與圖形結(jié)合起來(lái)，適當(dāng)設(shè)定未知數(shù)，結(jié)合定義和已知條件、隱含條件，建立已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系，以方程式或方程組的形式表達(dá)出來(lái)，從而使問題得到解決的思想方法，因此數(shù)形結(jié)合思想對(duì)解決與等量有關(guān)的數(shù)學(xué)問題十分有效。

三、增加教學(xué)的多樣性，提高學(xué)習(xí)效率

數(shù)形結(jié)合的形式可以是靜態(tài)的圖像等，也可以是動(dòng)態(tài)的媒體文件等。將教材中的難以理解的數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)化為可以接受的形象化的數(shù)形，將函數(shù)的幾何特征與數(shù)形緊密結(jié)合在一起，對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，可以不用針對(duì)教學(xué)內(nèi)容制作枯燥乏味的教案，再進(jìn)行按部就班的講解；對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，將這種方法引入教學(xué)不僅可以對(duì)知識(shí)進(jìn)行形象化處理，還能接受到動(dòng)態(tài)的數(shù)形結(jié)合，在愉悅身心的同時(shí)學(xué)到了知識(shí)，提高了學(xué)習(xí)效率。

例如，在上《指數(shù)函數(shù)》時(shí)，我可以利用課件的優(yōu)勢(shì)，將單純的作圖方式轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的作圖方式，通過(guò)轉(zhuǎn)化使學(xué)生理解指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速率與指數(shù)函數(shù)的特征，當(dāng)中省了許多列表描點(diǎn)的時(shí)間，同時(shí)利用此課件除了可彌補(bǔ)教學(xué)教具的不足外，還可以讓學(xué)生在多元化的教學(xué)氛圍中，提高對(duì)指數(shù)函數(shù)特性的理解，加深印象，從而提高課堂學(xué)習(xí)效率。

四、注意學(xué)生的接受能力，把握引導(dǎo)作用

數(shù)形結(jié)合教學(xué)也有一定的不足之處，如果教師只是一味按照自己的教學(xué)思路授課，完全不顧學(xué)生的感受或者是學(xué)生的接受能力，則效果肯定不佳。因此，教師在課堂教學(xué)中，應(yīng)適當(dāng)走動(dòng)，盡量用身體語(yǔ)言提示、交流教學(xué)信息，加上適當(dāng)?shù)男蜗蠡Z(yǔ)言教學(xué)，調(diào)節(jié)課堂氣氛，也調(diào)動(dòng)學(xué)生積極參與教學(xué)，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生心理產(chǎn)生的正面效應(yīng)，發(fā)揮數(shù)形結(jié)合教學(xué)和教師引導(dǎo)的雙重作用，提高課堂教學(xué)效率。

例如，在講《冪函數(shù)》一節(jié)時(shí)，學(xué)生對(duì)定義的理解，主要在于書上的介紹，很少學(xué)生能自己感悟出冪函數(shù)定義。于是教師制作了一個(gè)實(shí)踐性的教案，為學(xué)生提供教學(xué)用具，教師提供y=x，y=x ，y=x ，y=x ，y=x 等典型的冪函數(shù)的圖像，讓學(xué)生看得真切，清晰，充分鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行猜想和假設(shè)，更有利于學(xué)生接受，從而有助于培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)能力及創(chuàng)新意識(shí)。

五、以學(xué)生為中心，掌握數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用